Popular science
Astronautics
Physics
Chemistry
1 February

Цивилизация Пружин, 3/5

Часть 3. Цивилизация пружин



[Image credit: By Lothar Spurzem — Own work, CC BY-SA 2.0 de, commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=39574590]

Предыдущая часть. Краткое содержание предыдущей серии.

Итак, какие же ещё есть способы хранения энергии, помимо химического топлива? Пусть даже не для ракет, а вообще?

Начнём с электрической батареи. Вот хотя бы литиево-ионной. Откуда в ней берётся энергия?

Всё просто, там идёт[210] электрохимическая реакция:

LiC6 + CoO2 <-> C6 + LiCoO2

Идёт налево — песнь за заряжается. Направо — разряжается.

Вы, конечно, уже догадались. Поскольку предел энергоёмкости химической реакции нам известен (≈20-30 МДж/кг), то такова же и максимальная плотность энергии для любой батарейки/аккумулятора. Хоть свинцового, хоть никель-кадмиевого, хоть серно-натриевого. Простого взгляда на характеристики разных типов батарей в Википедии[340] достаточно, чтобы подтвердить эту догадку. И ещё увидеть: даже лучшие батареи по энергосодержанию (1-3 МДж/кг) до теоретического предела пока не дотягивают целый порядок. Батарейка по джоулям на килограмм не бьёт бензин и никогда его не побьёт — но развиваться ей ещё есть куда.

Окей, давайте попробуем что-нибудь радикально другое. Совсем на батарейку не похожее. Ну вот хотя бы пружину. Как в ней запасается энергия?

К материалу прикладывается нагрузка. Нагрузка смещает атомы относительно друг друга. Из-за смещения электрические облака внешних, валентных электронов перераспределяются и слегка меняют форму… Стоп! "Кажется… сегодня я это уже говорил..."


[Image Credit: фильм День выборов [630]]

Да, именно так. Энергия упругости складируется преимущественно в электрическом поле внешних электронов. А значит, и предел у неё тот же самый: ≈20-30 МДж/кг, или 3-4 эВ на атом, соответствующих энергии связи либо валентных электронов с атомом (в ковалентных и ионных решётках), либо атома с электронной «жидкостью» распределённых электронов (в металле, где на самом деле всё сложнее и я срезал тут пару углов, но на ответ это радикально не повлияло).

Как проверить этот вывод? С топливами легко, теплоты сгорания есть в любом справочнике. А какой физический параметр для материала пружины является мерой предельной запасаемой энергии?

Чуток формул
Рассмотрим маленький параллелепипед материала внутри пружины. Длина a, площадь S. Объём V = aS. Его растягивают. Делать это можно, пока давление (на растяжение) внутри бруска не достигнет предела прочности, обозначаемого буковкой σ; попытка дальнейшего растяжения приведёт к необратимой деформации без запасания энергии. Сколько энергии в этом бруске? Работа A = ∫F*dx от нуля до ε*a, где ε — относительное удлинение, при котором деформация ещё обратима. За исключением резиноподобных материалов (где работает другой механизм) ε << 1 всегда — ибо атомы не могут поменять взаимное расположение на расстояния, сопоставимые с исходными, без радикальной перестройки всей решётки. Следовательно, удлинение мало, а силу сопротивления можно полагать линейно растущей с удлинением: F ≈ (x/)*S*σ. Интегрируем, получаем работу A = x2*S*σ/2, подстановка от 0 до , итого A = Saσε/2 = σVε/2. А сколько энергии получается на единицу массы? Надо разделить A на m=ρV. Будет w = εσ/2ρ.

Величину ε можно оценить как εσ/E, где E — модуль Юнга для вещества. Но мы поступим проще. Поскольку для абсолютно подавляющего большинства конструкционных материалов ε меньше[358] (и даже существенно меньше) единицы, мы просто загрубим оценку, записав w < σ/2ρ. Как выяснится в дальнейшем, этой точности вполне хватит для понимания картины.

Ответ: предельная плотность упругой энергии на килограмм не превышает wσ/2ρ, где σ — предельное давление, выдерживаемое материалом без необратимой деформации, а ρ — его плотность. И если наше понимание на молекулярном уровне хотя бы приблизительно верно, то это отношение должно быть не больше ≈30 МДж/кг. Смотрим прочности[350][355] материалов, сравниваем:
Материал Предельная нагрузка на растяжение σ, ГПа (yield strength) Плотность, кг/м3 w = σ/2ρ, МДж на килограмм
Нержавеющая сталь 0.505 8000 0.031
Титановый сплав Beta C 1.25 4810 0.13
Бериллий 0.345 1840 0.19
Мартенситно-стареющая сталь [2800 Maraging steel] 2.617 8000 0.33
Алмаз 1.6 2800 0.57
Кевлар 3.62 2514 1.25
Углеродное волокно Toray T1100G 7.0 1790 2.96

Всё так. Более того, большинство конструкционных материалов не дотягивают до предела 1-3 порядка. Ибо у реальных материалов в кристаллических решётках всегда есть многочисленные дефекты, не позволяющие им достигать даже той прочности, на которую в принципе способны составляющие их атомы и молекулы. А реальные пружины, в свою очередь, не дотягивают даже и до предела по дефектам — потому что «плывут» уже при очень небольших относительных деформациях.

А графен[95], спросите вы? Как же графен, с заявленными характеристиками[355] в 65 МДж/кг? И всякие «колоссальные нанотрубки»? Мы про них мы в четвёртой части поговорим. Пока же ограничимся утверждением, что за парой очень специфических штучных исключений, предел упругой энергоёмкости твёрдой материи действительно не превышает ≈30 МДж/кг.

Статья написана для сайта https://habr.com. При копировании просьба ссылаться на исходник. Автор статьи Евгений Бобух.

Но, может, проблема с пружиной в том, что её нельзя сжимать выше предела прочности материала? Однако это можно делать с газами! Что если хранить энергию в сжатом газе?

Итак, дано: сферический баллон радиуса r из металла с прочностью σ с тонкой стенкой. В него закачан газ под давлением p. Какой толщины должна быть стенка, чтобы баллон не разорвало? Простейший подсчёт показывает, что эта толщина δ = (r/2)*(p/σ). Сколько весит такой баллон? m = ρV = ρ*4πr2δ = 2πρr3p/σ.  Сколько в нём запасено энергии? EpV = 4πr3p/3. Массой самого газа пренебрежём. Потерями на расширение тоже. Сколько будет джоулей на килограмм? Делим E на массу баллона m, получаем…

w = 2σ/3ρ

Та же пружина. С тем же фундаментальным Пружинным Пределом, не зависящим от давления в баллоне. Конечно, за счёт хитрой геометрии или толстых стенок из этого, наверное, можно выжать ещё пару раз. Но уж никак не пару сотен…

Маховик? Его предел определяется способностью материала сопротивляться нагрузке, создаваемой центробежной силой центростремительным ускорением. Несложно показать, что и здесь плотность энергии составит[640] те же σ/ρ с точностью до пары раз за счёт геометрии. Правда, на практике у маховика этот предел не зависит от относительного удлинения перед разрушением, и, следовательно, (почти) полностью достигается, в отличие от пружины.

Отбросим механику. Есть же более современное электричество, давайте хранить энергию в нём?

Допустим, вакуумный конденсатор. Простейший: две пластины, электрическое поле между ними. Как известно[360, стр. 106], каждый кубосантиметр электрического поля хранит E2/8π единиц энергии (в СГС, электричество я привык считать в ней). Сколько это будет на килограмм? А килограммы возникают неизбежно, поскольку конденсатору нужна прочность. Пластины-то друг к другу притягиваются. Притягиваются так, как будто бы испытывают отрицательное давление электрического поля. Которое равно[360] тем же самым E2/8π! То есть, эта задача эквивалентна задаче о баллоне с газом с отрицательным давлением, удерживаемым от разрушения прочностью стенок. И мы эту задачу только что решили. Ответ известен: всё те же несчастные σ/ρ плюс-минус пару раз.

А если конденсатор не вакуумный? Если заполнить диэлектриком? Он же примет на себя часть нагрузки. И увеличит объёмную плотность энергии в ε раз, ибо в диэлектрике она равна[650] ED/8π = εE2/8π. Казалось бы, вот оно, счастье? Но увы, сжимающее давление на конденсатор тоже возрастает в ε раз при фиксированном внутреннем E, и выходит так на эдак. А ведь мы ещё пренебрегли электрическим пробоем. Вероятность которого нарастает катастрофически, как только поле E становится сопоставимым с межатомными полями, создаваемыми внешними валентными электронами. То есть, и здесь всё упирается в Пружинный Предел.

Тогда как насчёт супер-конденсаторов[220], с сумасшедшими ёмкостями до сотен фарад? Увы, тоже никак. По принципу действия они разделяются на два класса. Электрохимические — это фактически окислительно-восстановительные батареи, запасающие энергию в химической форме, просто очень быстро. И электростатические, больше похожие на конденсаторы в привычном понимании, только с очень тонким зазором между «электродами», в несколько молекул шириной. У первых запас энергии, очевидно, упирается в химию. У вторых — в величину пробойного электрического поля. Которое не может существенно превышать силой межатомные электрические поля, удерживающие в целостности материю. А это те же единицы эВ на размер атома. Таким образом, и супер-конденсаторы ограничены в хранении энергии величиной ≈30 МДж/кг. Википедия свидетельствует[223]: ни одно из этих устройств даже близко не подходит по плотности энергии к этому пределу. И, исходя из нашего понимания, не подойдёт.

В последней попытке перепрыгнуть этот предел электростатикой давайте взглянём на сферический конденсатор в вакууме:



Берём идеально гладкую металлическую сферу радиуса r. Охлаждаем её до (почти) абсолютного нуля. Увозим далеко-далеко в бесконечно глубокий вакуум. И обстреливаем электронным пучком, очень издалека. Электроны, попадая на сферу, придадут ей заряд q и (как можно подсчитать) полную энергию W = q2/2r. Вроде, не зависящую от массы сферы. Оно???

Увы, подобный конденсатор можно заряжать не до бесконечности. А лишь до тех пор, пока созданное им электрическое поле у поверхности не станет сопоставимо по напряжённости с электрическими полями между атомами. Если приблизиться к этой величине отрицательным зарядом — начнётся дикая электронная эмиссия ([390, стр 13], [400]) и заряд улетит в окружающий вакуум за пару минут. Если положительным — потеряет прочность кристаллическая решётка конденсатора, вещество «испарится» или попросту рассыпется. Легко у меня ушёл день, чтобы подсчитать, что в первом случае плотность энергии на килограмм составит лишь ≈20 КДж/кг. Во втором — уже знакомые нам 10-30 МДж/кг. Наконец, если сделать сферу полой — то предел определится её прочностью на разрыв.

А если поле не электрическое, а магнитное? Ну вот взяли кольцо из сверхпроводника радиусом R, толщиной проволоки 2r, запустили в нём электрический ток силой I, охладили — и пожалуйста: бежит по кругу вечно ток, энергия в магнитном поле ждёт употребления. Чем не идеальный аккумулятор?



Но вспомним, что противоположно направленные токи отталкиваются. Поэтому на кольцо будет действовать разрывающая сила. Для противостояния которой надо обладать некоторой массой и упругостью. Избавив читателей от подробностей подсчёта, сообщу, что и здесь запасённая в кольце энергия оказывается приблизительно равной всё тому же отношению σ/ρ.

Тут знающие люди наверняка подумают: «Бессиловая конфигурация! А как же бессиловая конфигурация?!» Есть[380] такая штука. Именно с магнитным полем возможна хитрая геометрия, при которой поле оказывается параллельным току в системе — и, таким образом, не оказывает на этот ток никакого силового воздействия. В простейшем варианте такой конфигурации ток заворачивается по спирали, поле заворачивается в ту же сторону и сила на провода (почти) не действует:



[Image credit: Szabolcs Rembeczki, Design and Optimization of Force-Reduced High Field Magnets, [370]]

Подобная конструкция, на первый взгляд, выводит, наконец, обычную материю из роли пружины и перепрыгивает Пружинный Предел. Однако не тут-то было. Тщательный и аккуратный анализ[370] показывает, что, во-первых, бессиловое состояние возможно лишь в отдельных точках пространства — но не во всём пространстве; и во-вторых, бессиловая система конечного размера всё равно требует внешних подпорок для своего существования. Более того, Szabolcs Rembeczki приводит точный результат другого автора (G. E. March) от 1996 года, где полный запас энергии в подобной системе сравнивается с упругой энергией этих подпорок:


[Image credit: Szabolcs Rembeczki, Design and Optimization of Force-Reduced High Field Magnets, [370]]

Чуть переписав последнее выражение, получаем: E/M σ/ρ. То есть, энергия к массе по-прежнему не превышает Пружинного Предела.

Наконец, кратко коснёмся расплавленной соли, ибо тема эта популярна. Сколько энергии может хранить килограмм расплава? Очевидно, это энергия, потребная на разогрев до температуры плавления, плюс удельная теплота этого самого плавления. Первая из двух ничтожна: поскольку 1 эВ на этом — это 11600 градусов, то, очевидно, никакое твёрдое тело не может содержать более ≈0.4 эВ/атом тепла. Вторая определяется энергией связи твёрдой решётки и по этой причине не превышает единиц эВ на атом. Например, у поваренной соли NaCl (вещества близкого к полной ионности и относительно безвредного) теплота плавления составляет[660] 0.52 МДж/кг, или порядка 0.3 эВ на атом. На чём данную тему можно закрыть.

Итог получается грустный и немного забавный.

Несмотря на тысячелетний инженерный прогресс; несмотря на громадное, вроде бы, разнообразие способов хранения энергии, большинство этих способов опираются один и тот же принцип. Принцип, положенный в основу устройства, известного нам уже сотни лет.

Это устройство — пружина:



Мы — цивилизация пружин.

Наши ракеты дороги и тяжелы, потому что, фактически, пружина хранит движущую их энергию, плотности которой едва хватает на преодоление земного гравитационного колодца. Пружинный Предел определяет механическую прочность ракет, противостоящую массе взведённой химической пружины топлива. Пружинный предел диктует предельную высоту наших зданий, длину пролётов мостов, ёмкость аккумуляторов, толщину кузовов грузовиков.

Всё, что запасает энергию в перераспределении электрических полей внешних, валентных электронов обычной материи, упирается в Пружинный Предел: 3-4 эВ на атом, или 20-30 МДж/кг. Материя, которой мы повседневно пользуемся, подобна жадному брокеру. Все транзакции идут строго через него: энергия => материя => электрические поля => материя => энергия. Но брокер запрещает хранить на одном счету больше 3-4 электроновольт на атом, и дерёт колоссальную комиссию в виде массы тяжёлого атома за каждый счёт.

И хотя внутренние электроны атома обладают энергиями связи в сотни и тысячи электронвольт, а ядра — в миллионы и миллиарды, работать мы с этими силами лишь едва-едва начинаем. Пока мы хорошо научились манипулировать лишь тонкой внешней оболочкой атома. В ней, в виде напряжённости электрического поля, и хранятся почти все энергетические запасы нашей цивилизации.

Какие-нибудь марсиане, глядишь, от осознания подобного давно опустили бы руки псевдоподии. Но мы в следующем разделе посмотрим, какие же пути предлагает Природа для обхода Пружинного Предела. На самом деле посмотрим.

Продолжение.

Ссылки и литература

[95] Про графен: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Graphene
[210] Литиево-ионная батарейка, электрохимия: https://en.wikipedia.org/wiki/Lithium-ion_battery#Electrochemistry
[220] Суперконденсаторы: https://en.wikipedia.org/wiki/Supercapacitor
[223] https://en.wikipedia.org/wiki/Supercapacitor#Comparison_with_other_storage_technologies

[340] Параметры разных типов батарей: https://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_of_commercial_battery_types

[350] Прочности материалов: https://en.wikipedia.org/wiki/Specific_strength#frb-inline

[355] Прочности материалов: https://en.wikipedia.org/wiki/Ultimate_tensile_strength#Typical_tensile_strengths

[358] Лекция по теории прочности и пределы разрушения материалов: https://ocw.mit.edu/courses/materials-science-and-engineering/3-11-mechanics-of-materials-fall-1999/modules/MIT3_11F99_ss.pdf

[360] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теория поля. Издания пятое, исправленное и дополненное. Издательство «Наука», Главная Редакция физико-математической литературы, Москва, 1967.

[370] Szabolcs Rembeczki, Design and Optimization of Force-Reduced High Field Magnets: https://research.fit.edu/media/site-specific/researchfitedu/hep/heplaba/documents/theses/DissertationSzabolcsRembeczki.pdf

[380] Википедия про бессиловые поля: https://en.wikipedia.org/wiki/Force-free_magnetic_field

[390] Формулы для расчёта полевой электронной эмиссии: http://www2.avs.org/conferences/IVNC/pdfs/Forbes-Tutorial.pdf

[400] Физическое описание полевой электронной эмиссии (с битыми формулами явно из [390], но пояснениями в предыдущих параграфах, позволяющими таки понять механизм): https://en.wikipedia.org/wiki/Field_electron_emission

[630] Режиссёр Олег Фомин, фильм День выборов: https://ru.wikipedia.org/wiki/День_выборов_(фильм)

[640] Про маховики и предел их плотности энергии: https://en.wikipedia.org/wiki/Flywheel_energy_storage#Specific_energy

[650] Лекция про электростатику диэлектриков: http://physics.usask.ca/~hirose/EP464/ch4-09.pdf (вообще-то, всё это во множестве совестких учебников ещё написано, у того же Тамма или Ландау).

[660] Теплота плавления поваренной соли: https://en.wikipedia.org/wiki/Sodium_chloride_(data_page)



+195
42.7k 153
Comments 109