Entertaining tasks
Mathematics
Popular science
Comments 16
0
Статья очень познавательная, спасибо. На тему прикладной статистики есть ряд очень интересных книг, которые были написаны очень давно, а именно применение статистических методов для улучшения качества при производстве или оказании услуг, одна из них Эдвард Дейминг «Выход из кризиса», очень трудно найти бесплатно, хотя платная электронная версия не так дорога. Книга просто переворот в сознании применительно к бизнесу и теории управления и да сам Энштейн положительно ее оценил, очень рекомендую к прочтению так как полученные знанич могут пригодиться на практике.
+1
С удовольствием читаю ваши заметки на этом сайте — как из этой серии, так и другие (по программированию, в частности — я по профессии программист, хотя в институте получал образование с математическим уклоном).

С моей точки зрения эта глава — весьма добротная, затрагивает важные вопросы и потому заслуживает включения в книгу. Небольшая поправка: в уравнении для нахождения корня из двух x через представление этого числа в виде цепной дроби вы в левой части отняли единицу (x — 1 = …), а в правой оставили (… = 1 + …), правильное уравнение получится, если убрать эту «1 + » в правой части.

Приведу пару примеров, иллюстрирующих важность достаточно детального рассмотрения в книге условных вероятностей и формулы Байеса. Один — история про Эрдоша, который не поверил в правильность рассуждений о знаменитом парадоксе Монти Холла, пока ему не продемонстрировали численный эксперимент на компьютере — при том, что Эрдош прекрасно владел теоретическим аппаратом и, среди прочих заслуг, продемонстрировал эффективность применения аппарата теории вероятностей при решении строго определённых задач дискретной математики. Ну, парадокс Монти Холла лучше оставить в стороне из-за нечёткостей его формулировки и возможностей различно его интерпретировать. В следующем примере проблема нечёткости формулировки задачи на условные вероятности практически отсутствует: автор заметки на Хабре отреагировал на дискуссию в комментариях и исправил формулировку задачи.

Я имею в виду вот это обсуждение задачи про 12 стульев: https://habr.com/post/225031/ — я там недавно оставил подробный комментарий внизу обсуждения. Мне кажется, эта задача может послужить хорошей игровой моделью экспериментальной проверки теоретических гипотез, в процессе которой после каждого эксперимента уточняется уверенность в том, что гипотеза согласуется с реальным миром.

Пользуясь случаем, хотел бы предложить вам обсуждение некоторых смежных тем — в личной переписке, потому что прямого отношение к данной главе вашей будущей книги они не имеют, так что я не хотел бы мусорить в комментариях здесь. Я сейчас отправлю вам небольшое затравочное сообщение на этом сайте в надежде, что вы отзовётесь.
0

Благодарю за развёрнутый комментарий. История с Эрдошем мне знакома, но в задаче Монти Холла я не вижу интриги — ею трудно "заразить" студента, который уже не заражён научным поиском, а запутать и сбить с толку можно.
А вот задачка со стульями мне по душе. Надо с ней поиграться, она хорошая, спасибо!
И единичку в уравнении исправил, спасибо!

0
Спасибо! Отправил вам личное сообщение минуту назад в надежде переключиться на e-mail переписку по возможности.
+1
И всё-таки, вот это утверждение:
Согласно Центральной предельной теореме, наблюдаемое среднее значение будет распределено нормально

грубо неверно.
Я понимаю, что вы хотели сказать, но надо как-то его смягчить. Может быть, добавить «скорее всего, выполняются требования для цпт и ...» или что-то такое.
E.g., если у нас канал, по которому поступает сигнал, мультипликативный (шумы не суммируются, а умножаются) — например, радиоканал, то цпт очевидно не натягивается, т.к. нет суммирования.
Ну и про пять сигм упомянуть обязательно стОит — в физике элементарных частиц именно этот порог отделяет открытие от ещё-не-открытия.
0

Согласен, смягчу "до весьма вероятно" ибо ЦПТ работает по-разному в разных условиях (близость к границе носителя, мультипликативность и т.д.).
Про пять сигм, всё-таки, да. Не написал только потому что ФЭЧ совсем никак не упоминается в книжке. Но это не повод.
Спасибо, я именно на такие комментарии рассчитывал, публикуя текст здесь.

+1
Спасибо за цикл статей! Вне сомнений книга получится очень познавательной и полезной. Пара замечаний общего характера.
Грамотной статистической обработке данных посвящена масса литературы, ведь это абсолютно необходимый инструмент для медиков, социологов, экономистов, физиков, психологов… словом, для всех научно исследующих так называемый «реальный мир», отличающийся от идеального математического лишь степенью нашего незнания о нём.
Видимо сомневаетесь в существовании реальности за пределами наших органов чувств раз берете в кавычки слова о ней) Впрочем это не новость для математиков, и людей с таким складом ума. Однако, если вы адресуете книгу широкой публике, включая интересующихся естественными науками, то такой подход скорее вреден, чем продуктивен. Общеизвестный пример ошибочности такой установки история соперничества Пуанкаре и Эйнштейна при создании теории, которая теперь известна, как СТО. В конечном итоге именно реализм Эйнштейна позволил опередить Пуанкаре, хотя у того была фора в виде более основательной математической подготовки и познаний в этой области. Но еще более удивительным фактом является пример самого Эйнштейна, когда под давлением собственных рационалистических установок, возобладавших во второй половине жизни, он отрицательно отнесся к вероятностной интерпретации КМ. Впрочем, легко постфактум обсуждать влияние установок на деятельность других людей, куда сложнее понять собственные) Для математиков, по видимому, энергетически выгоден некоторый идеализм, платонизм в подходе к работе, в отличии от физиков, особенно экспериментаторов, где всегда требуется получить не только чистый результат, но и понять его физический смысл и возможность его дальнейшего практического применения.

По критерию Поппера:
Получается, что любая научная теория автоматически потенциально неверна, а теория, верная «по определению», не может считаться научной. Более того, этому критерию не удовлетворяют такие науки как математика и логика. Впрочем, их относят не к естественным наукам, а к формальным, не требующим проверки на фальсифицируемость.
Конечной инстанцией проверки теорий является все-же соответствие реальности, пусть и с некоторой точностью. Критерий Поппера носит вспомогательный характер. Если теория полна и не противоречива, включая естественно-научные, скажем теории классической механики и всемирного тяготения Ньютона, то в их рамках нельзя придумать эксперимент опровергающий их. Для этого нужно выйти за рамки этих теорий. Поэтому в действительности фальсифицируемость теорий обеспечивают необъяснимые результаты наблюдений и экспериментов. Такие как результаты эксперимента Майкельсона-Морли не подтвердившие преобразования Галилея для сложения скоростей классической механики, или прецессия перигелия Меркурия не объяснимая законом тяготения. Что касается математических теорий, то они отличаются от физических уровнем обобщения, абстрактности, но имеют, если смотреть в исторической ретроспективе такие же эмпирические корни. Нужно только учесть, что некоторый базовый уровень задается интуитивно, чувство количества, числа, счет, сравнимость, положение, длительность и тд. Эволюция проделала этот путь, и вшила этот функционал на уровне восприятия, рефлексов и тд. Человек развил этот функционал, исходя из практических потребностей, и перевел в коммуникативные формы — языковые и символьные. Если приводить конкретные примеры, то евклидова геометрия по способу происхождения и построению особо не отличается от той-же классической механики: аксиоматические теории с эмпирически обоснованным набором исходных посылок. Точно также фальсифицируемость евклидовой геометрии обеспечивают наблюдения или опыт. Опыт к примеру состоял бы в измерении суммы углов гигантского треугольника, или соблюдение равенства расстояния между очень длинными параллельными линиями. Либо наблюдения этих построений в выпуклых отражающих поверхностях, кот. как-бы намекали на ограниченность этих построений на плоскости) Конечно современная математика далеко ушла от этого уровня. Первичные абстракции были неоднократно обобщены и дополнительно абстрагированы, они живут собственной жизнью, и казалось бы не имеют никакого отношения к реальности. Так и есть, если рассматривать чистую математику, математику ради математики. Но как только абстрактные мат. теории востребуются физикой, или в др. науках, и выдают соответствующие реальности результаты они подтверждаются экспериментально, как модели, и возможно, фальсифицируют пред. модели. Как пример, использование неевклидовой геометрии в ОТО. Более того запросы физики стимулируют развитие мат. теорий во вполне определенном направлении. Это характерно и для нашего времени. Физики-теоретики пытаются применить любые новые мат. наработки для построения той же теории кв. гравитации, стимулируя развитие различных структурных подходов.
+1

Спасибо за содержательный комментарий.


Видимо сомневаетесь в существовании реальности за пределами наших органов чувств раз берете в кавычки слова о ней)

Тут я выступаю, скорее, как позитивист. Моё представление о познаваемом мире включает в реальность непротиворечивые формальные теории. Кавычки здесь отражают ощущение искусственности разделения мира на реальный и математический. Я сторонник той позиции, что математики, наравне с физиками, открывают и исследуют наш мир. Искусственные нежизнеспособные формальные системы ненаблюдаемы, в отличие от огромного числа взаимосогласованных структур и систем, составляющих интертеоретический фундамент как математики, так и физики.


Ограниченность критерия Поппера, как инструмента, уже хорошо осознана и освещена, но мне важно познакомить широкого читателя — старшеклассника, студента с самой идеей и постановкой эпистемологического вопроса. О том сколько копий сломано и как шкивало философию XX века от верификационизма через постпозитивизм до постмодернизма и эпистемологического анархизма, он узнает потом, когда поймёт о чём, собственно, речь. Я сомневался, стоит ли вообще упоминать философию, но некие базовые вещи, нужные для отсева информационного шума, думаю, стоит вводить.

+1
samsergey, не было возможности ответить сразу. Если нет времени, то текст под спойлером можно пропустить, там длинно и нудно, больше для убеждения себя)
Я сторонник той позиции, что математики, наравне с физиками, открывают и исследуют наш мир.
Математика претендует на роль философии в современной науке. Философия — мать наук, свою миссию в значительной степени выполнила, науки давно отпочковались и превратились в самостоятельные дисциплины, обзавелись собственной методологией. А математика — царица наук (пусть только сильно не задирает нос:), благодаря наиболее высокой степени обобщенности объектов и методов, формальному подходу, претендует на новый междисциплинарный синтез. Это фактически язык науки, по крайней мере естественных, и коммуникативная форма. В отличии от философии, кот. являлась только словесной коммуникативной формой, математика основывается на символьно-знаковой форме. Поскольку любые коммуникативные формы суть информационные процессы, то смысловую нагрузку они несут только в контексте человеческого социума.
Искусственные нежизнеспособные формальные системы ненаблюдаемы, в отличие от огромного числа взаимосогласованных структур и систем, составляющих интертеоретический фундамент как математики, так и физики.
Тут пока без изменений, науки поставляют факты, математика методы с помощью кот. строятся модели предметных областей. Общая проблема сейчас, и особенно в перспективе, чрезвычайно большая сложность исследуемых систем — мозг, самоорганизующиеся системы, эволюционные процессы, абиогенез, объединение физ. взаимодействий, космология и др, и соответственно, неимоверный рост сложности моделей, с еще не определенными классами сложности решаемых задач по ним. Посмотрите на запись Лагранжиана СМ в этой теме. Берут сомнения, что в общем виде, даже численно, оно будет решено для систем состоящих из многих взаимодействующих частиц, коль скоро даже для классических задач многих тел требуются большие вычислительные мощности, для решения с приемлемой точностью, за конечное время. Что же будет в еще более общей теории? Подозреваю даже если выч. система будет иметь производительность квантового вычислителя, световую скорость передачи информации по оптическим каналам, плотность памяти сравнимую с молекулярной по типу ДНК, ее ресурсов не хватит для решения задач моделирования реальных систем за приемлемое время. Как всегда будут использоваться приближения и частные случаи. Тупик? Нет, возможно произойдет переход на след. уровень, где формальный подход отойдет на второй план, явные модели исследуемых систем не будут строиться, а вычисления будут реально распараллелены — нейросетевой ИИ на пока еще неведомых технологических принципах. В этом случае создание теории, например, кв. гравитации будет выглядеть, как обучение на реальных экспериментальных результатах и наблюдениях связанных с этой областью. Или обучение задачам многих тел на реальных системах, как пример. Доведения до приемлемого практического уровня точности предсказания и передачи в пользование всем заинтересованном лицам в виде готовой нейросети. Никаких там длинных систем уравнений, и их решения для практических задач. Черный ящик на вход которого подаются условия решаемой задачи, на выходе решение. Что происходит внутри не известно. Возможно для каких-то частных случаев будет произведена факторизация, и получены записи в традиционном символьном виде, с интерпретацией параметров модели. Вообще задача интроспекции (пояснение) таких «черных» ящиков актуальна уже сейчас. Например, при разборе ДТП с участием самоуправляемых авто, использующих нейросети для обучения автономному вождению. Для ответа на вопрос почему она приняла такое решение, а не иное.
Не так уж и фантастично с «черным» ящиком, уже на современном этапе похожие работы имеются.
Я сомневался, стоит ли вообще упоминать философию..
Фраза «для всех научно исследующих так называемый «реальный мир»» уже неявно предполагает некоторую философскую установку. Коль скоро книга расчитана и на студентов, возможно будущих исследователей, а в их числе могут быть и естественники, то для кого-то эти слова могут послужить демотиватором поиска нового, неизведанного, коль скоро есть сомнения в существовании такого мира. Так устроено, что молодые, неокрепшие умы могут не критично впитать подобную информацию, и она подсознательно будет влиять на принятие решений в дальнейшем. Это философам и математикам достаточно бумаги и ручки для поиска нового) может еще творческого вдохновения в тишине. Признаю, в современных реалиях, может еще компа и доступа в инет за инфой) А естествопытателям для поиска нового желательна еще мотивации в виде неразгаданных тайн природы, кот. является частью чего-то большего, находящегося за пределами чувственного восприятия, загадочной реальности. Но шутки в сторону, хотя в каждой шутке… Если серьезно, то позитивисты в пылу борьбе с метафизикой, готовы выбросить и вполне работающие в науке идеи. Ничего не имею против позитивизма, как методологии в научных исследованиях, более того, считаю себя в некоторых вопросах позитивистом-экстремалом) В обосновании существования реальности, непосредственно не доступной органам чувств, приведу несколько аргументов, разной степени очевидности.

1. Ее существование подтверждает история науки, в частности, физики. Подавляющее большинство экспериментов и наблюдений действительно проводятся в соответствии с некоторыми протоколами исследования, как того требует позитивистский подход, и создается ощущение некой рутинности и предсказуемости этих действий, в которых реальность никаким особым образом себя не проявляет. Как пример, открытие бозона Хиггса, обложили по всем правилам охоты, загнали, и поймали с 5 сигмами) Но есть еще случайные открытия, безо всяких протоколов исследования и теоретических представлений о возможных результатах, открытия для которых необходимые условия созрели, и это является делом времени и удачи. Вспоминается открытие радиоактивности, когда две вещи случайно положили рядом, фотопластину и соль урана, и получили неизвестный эффект. Таких открытий было не мало, причем фундаментального порядка, если еще учесть и непредвиденные результаты экспериментов, по типу результатов эксп. Майкельсона-Морли. Одно из последних — Темная материя. Говорить, что в этих случаях реальность себя никак не проявила весьма затруднительно. Проявила именно, как источник новых фактов, никак не предсказываемых и не объясняемых существующими теориями.

2. Реальность не только источник принципиально новых фактов и знаний, не сводящихся к имеющимся, но и некоторый предел к которому эти знания приближаются. Это следует из принципа соответствия, который регулирует наследование поколений теорий проверенных экспериментом и практикой применения. Он возник в физике, но его действие прослеживается и в др. науках, включая математику. Это конечно не означает, что в конечном итоге будет создана универсальная теория, кот. будет однозначно описывать всю реальность, то есть будет тождественна ей. Тем не менее повышение точности и всеохватности физических теорий указывает на существовании некого предела.

3. Еще один аргумент, чтобы говорить о существовании реальности без кавычек, частично связан с собственной с проф. деятельностью, и собственными предположениями на этот счет.
Заголовок спойлера
По образованию физик, но имею отношение к биомедицинским исследования, как разработчик психофизиологических методик в различных целях. Но в основном занимаюсь матобработкой результатов применения таких методик, включая в виртуальных средах. Некоторые из этих методик приближенно являются инструментальными аналогами восточных методик релаксации и саморегуляции состояния разных систем организма. Этот опыт двоякий, на границе двух реальностей, субъективной и внешней, и воздействии последней на первую на физиологическом уровне.
Думаю практически все физиологи и нейрофизиологи исследующие сенсорику (чувственное восприятие) и когнитивные процессы на вопрос существует ли нечто за пределами орг. чувств ответят утвердительно. Но будут отождествлять это с чувственно воспринимаемым миром, ссылаясь на психофизические законы (Вебера-Фехнера), описывающих связь величин внешних воздействий с интенсивностью возникающих ощущений, а за деталями механизмов этих воздействий отошлют к физикам. Вот такой дуализм) В действительности на базе физиологии и нейрофизиологии восприятия можно сделать некоторые предположения об устройстве реальности, и предложить технологические способы расширения ее восприятия. При этом еще необходимо учесть историю развития представлений о физической картине мира, с учетом способа расширения восприятия, кот. выработала сама наука, с помощью приборов усилителей воздействий, типа микроскопов и телескопов, и приборов преобразователей воздействий, типа пузырьковых камер и эл. микроскопов.
Тут я выступаю, скорее, как позитивист
В методологическом плане, считаю, в дополнении к эмпирическому подходу имеют смысл только принципы выработанные самой физикой — принципы дополнительности, соответствия, наблюдаемости (роли наблюдателя), относительности к средствам наблюдения, симметрии, и некоторые др. Однако за эмпирическим опытом должна стоять реальность (физическая реальность по определению Эйнштейна), иначе трудно понять источник новых фактов получаемых в экспериментах и наблюдениях, и наличия системообразующего фактора определяющего вектор развития теорий. Вот такой реалистичный позитивизм)

Различные течения позитивизма особенно бурно расцвели в конце 19 в, и первой половине 20-го, когда в результате создания Новой физики, особенно КМ, казалось, что реальность «исчезла», а философия не могла дать адекватные ответы на возникшие проблемы. Это конечно не так, реальность никуда не исчезла, а по нарастающей начал давать сбой дисциплинарный подход разделения наук о природе, а сами дисциплины еще не накопили достаточных знаний, чтобы найти решение, или хотя бы сформулировать комплексное понимание этой проблемы. Сейчас ситуация изменилась к лучшему, и науки о человеке знают о его физиологии, и в частности, о функционировании органов чувств и мозга гораздо больше, чем в те времена. Поэтому становится возможным некоторый междисциплинарный синтез в понимании проблемы реальности, расширения границ ее восприятия и познаваемости.
Постановку этого вопроса можно увидеть в принципе наблюдаемости (и вообще роли наблюдателя в физике), возникшего еще в клас. физике, и развитого во времена создании Новой. Однако для физиков роль наблюдателя в конечном итоге сводится к проблеме наблюдаемых величин в теориях, неизбежно связанных с чувственным восприятием, имеющих физический смысл, и как следствие измеримых (оцениваемых с помощью орг. чувств и/или измеримых с помощью приборов). Сам наблюдатель в физике, в каком либо виде, из-за чрезвычайной сложности, по понятным причинам отсутствует, и фактически скрывается за процедурой измерения, являясь скрытым инвариантом физических теорий.
С другой стороны физиологи и нейрофизиологи имея представление о чувственном восприятии и когнитивных функциях, и следовательно имея возможность интерпретировать физический смысл наблюдаемых величин в физ. теориях, например, величин массы или интенсивности светового потока, не имеют представления о самой реальности, кроме того, что она существует, и является внешней по отношению к субъекту-наблюдателю. Каким образом перекинуть мостик между этими двумя проявлениями одной сущности? И ответить на вопрос до каких пределов эта «исчезнувшая» физическая реальность, в виде, например, метрического тензора кривизны простр.-временного континуума ОТО, или квадрата модуля ВФ, как плот. вероятности локализации микрочастицы в КМ, может вновь проявить себя подобно обычным чувственно-воспринимаемый образам привычного окружающего мира, но не сводится к ним, а не как модельные представлениям физических теорий? Для того, чтобы получить ответ на этот вопрос, необходимо сначала понять по какой причине реальность «исчезла»? На это дает ответ принцип дополнительности, кот. был сформулирован Бором в 1927 г. для объяснения использования классических понятий волны и частицы в корпускулярно-волновом дуализме КМ. Собственно, именно применение принципа дополнительности привело к разрешению кризис клас. физики, и созданию теорий Новой физики. Естественно, такое утверждение можно сделать только анализируя историю того времени, так как в явном виде этот принцип был сформулирован позже времени драматической истории борьбы идей, заблуждений, и поиска решений путем проб и ошибок.

Далее, чтобы еще больше не распузыривать этот комент сделаю ссылку на ветку коментариев в одной из тем, где уже подробно писал о возможном решении проблемы расширения восприятия реальности. Не стоит думать, что эти предложения столь экзотичны, в этом направлении уже ведутся разработки, см. эту тему. Отличие в том, что они решают конкретные задачи медицинского и игрового характера, а не глобальную проблему расширенного восприятия реальности. И не на уровне новых модальностей ощущений, а уже имеющихся у человека. Но так и должно быть, средств на исследования и технологии в такой глобальной постановке вопроса пока вряд ли кто выделит) с учетом требований по этичности таких исследований на людях.


0
Число Pi, тоже записывается очень красиво при помощи рядов. Возьмите разложение арктангенса в ряд Тейлора или Дзета функцию, там еще можно получить формулу через произведение всех простых чисел. Необязательно, чтобы все фундаментальные числа имели красивое представление в бесконечной дроби.
0

В виде рядов, конечно, можно, причём неограниченным числом способов, и ни один из них не является универсальным для какого-либо широкого класса чисел, к которым относилось бы число пи. И, конечно, необязательно, но обидно :)

0
пожалуйста, исправьте «теория вероятности» на «теория вероятностей»
Only those users with full accounts are able to leave comments. , please.