Entertaining tasks
Mathematics
Popular science
Comments 15
0
Статья очень познавательная, спасибо. На тему прикладной статистики есть ряд очень интересных книг, которые были написаны очень давно, а именно применение статистических методов для улучшения качества при производстве или оказании услуг, одна из них Эдвард Дейминг «Выход из кризиса», очень трудно найти бесплатно, хотя платная электронная версия не так дорога. Книга просто переворот в сознании применительно к бизнесу и теории управления и да сам Энштейн положительно ее оценил, очень рекомендую к прочтению так как полученные знанич могут пригодиться на практике.
+1
С удовольствием читаю ваши заметки на этом сайте — как из этой серии, так и другие (по программированию, в частности — я по профессии программист, хотя в институте получал образование с математическим уклоном).

С моей точки зрения эта глава — весьма добротная, затрагивает важные вопросы и потому заслуживает включения в книгу. Небольшая поправка: в уравнении для нахождения корня из двух x через представление этого числа в виде цепной дроби вы в левой части отняли единицу (x — 1 = …), а в правой оставили (… = 1 + …), правильное уравнение получится, если убрать эту «1 + » в правой части.

Приведу пару примеров, иллюстрирующих важность достаточно детального рассмотрения в книге условных вероятностей и формулы Байеса. Один — история про Эрдоша, который не поверил в правильность рассуждений о знаменитом парадоксе Монти Холла, пока ему не продемонстрировали численный эксперимент на компьютере — при том, что Эрдош прекрасно владел теоретическим аппаратом и, среди прочих заслуг, продемонстрировал эффективность применения аппарата теории вероятностей при решении строго определённых задач дискретной математики. Ну, парадокс Монти Холла лучше оставить в стороне из-за нечёткостей его формулировки и возможностей различно его интерпретировать. В следующем примере проблема нечёткости формулировки задачи на условные вероятности практически отсутствует: автор заметки на Хабре отреагировал на дискуссию в комментариях и исправил формулировку задачи.

Я имею в виду вот это обсуждение задачи про 12 стульев: https://habr.com/post/225031/ — я там недавно оставил подробный комментарий внизу обсуждения. Мне кажется, эта задача может послужить хорошей игровой моделью экспериментальной проверки теоретических гипотез, в процессе которой после каждого эксперимента уточняется уверенность в том, что гипотеза согласуется с реальным миром.

Пользуясь случаем, хотел бы предложить вам обсуждение некоторых смежных тем — в личной переписке, потому что прямого отношение к данной главе вашей будущей книги они не имеют, так что я не хотел бы мусорить в комментариях здесь. Я сейчас отправлю вам небольшое затравочное сообщение на этом сайте в надежде, что вы отзовётесь.
0

Благодарю за развёрнутый комментарий. История с Эрдошем мне знакома, но в задаче Монти Холла я не вижу интриги — ею трудно "заразить" студента, который уже не заражён научным поиском, а запутать и сбить с толку можно.
А вот задачка со стульями мне по душе. Надо с ней поиграться, она хорошая, спасибо!
И единичку в уравнении исправил, спасибо!

0
Спасибо! Отправил вам личное сообщение минуту назад в надежде переключиться на e-mail переписку по возможности.
+1
И всё-таки, вот это утверждение:
Согласно Центральной предельной теореме, наблюдаемое среднее значение будет распределено нормально

грубо неверно.
Я понимаю, что вы хотели сказать, но надо как-то его смягчить. Может быть, добавить «скорее всего, выполняются требования для цпт и ...» или что-то такое.
E.g., если у нас канал, по которому поступает сигнал, мультипликативный (шумы не суммируются, а умножаются) — например, радиоканал, то цпт очевидно не натягивается, т.к. нет суммирования.
Ну и про пять сигм упомянуть обязательно стОит — в физике элементарных частиц именно этот порог отделяет открытие от ещё-не-открытия.
0

Согласен, смягчу "до весьма вероятно" ибо ЦПТ работает по-разному в разных условиях (близость к границе носителя, мультипликативность и т.д.).
Про пять сигм, всё-таки, да. Не написал только потому что ФЭЧ совсем никак не упоминается в книжке. Но это не повод.
Спасибо, я именно на такие комментарии рассчитывал, публикуя текст здесь.

+1
Спасибо за цикл статей! Вне сомнений книга получится очень познавательной и полезной. Пара замечаний общего характера.
Грамотной статистической обработке данных посвящена масса литературы, ведь это абсолютно необходимый инструмент для медиков, социологов, экономистов, физиков, психологов… словом, для всех научно исследующих так называемый «реальный мир», отличающийся от идеального математического лишь степенью нашего незнания о нём.
Видимо сомневаетесь в существовании реальности за пределами наших органов чувств раз берете в кавычки слова о ней) Впрочем это не новость для математиков, и людей с таким складом ума. Однако, если вы адресуете книгу широкой публике, включая интересующихся естественными науками, то такой подход скорее вреден, чем продуктивен. Общеизвестный пример ошибочности такой установки история соперничества Пуанкаре и Эйнштейна при создании теории, которая теперь известна, как СТО. В конечном итоге именно реализм Эйнштейна позволил опередить Пуанкаре, хотя у того была фора в виде более основательной математической подготовки и познаний в этой области. Но еще более удивительным фактом является пример самого Эйнштейна, когда под давлением собственных рационалистических установок, возобладавших во второй половине жизни, он отрицательно отнесся к вероятностной интерпретации КМ. Впрочем, легко постфактум обсуждать влияние установок на деятельность других людей, куда сложнее понять собственные) Для математиков, по видимому, энергетически выгоден некоторый идеализм, платонизм в подходе к работе, в отличии от физиков, особенно экспериментаторов, где всегда требуется получить не только чистый результат, но и понять его физический смысл и возможность его дальнейшего практического применения.

По критерию Поппера:
Получается, что любая научная теория автоматически потенциально неверна, а теория, верная «по определению», не может считаться научной. Более того, этому критерию не удовлетворяют такие науки как математика и логика. Впрочем, их относят не к естественным наукам, а к формальным, не требующим проверки на фальсифицируемость.
Конечной инстанцией проверки теорий является все-же соответствие реальности, пусть и с некоторой точностью. Критерий Поппера носит вспомогательный характер. Если теория полна и не противоречива, включая естественно-научные, скажем теории классической механики и всемирного тяготения Ньютона, то в их рамках нельзя придумать эксперимент опровергающий их. Для этого нужно выйти за рамки этих теорий. Поэтому в действительности фальсифицируемость теорий обеспечивают необъяснимые результаты наблюдений и экспериментов. Такие как результаты эксперимента Майкельсона-Морли не подтвердившие преобразования Галилея для сложения скоростей классической механики, или прецессия перигелия Меркурия не объяснимая законом тяготения. Что касается математических теорий, то они отличаются от физических уровнем обобщения, абстрактности, но имеют, если смотреть в исторической ретроспективе такие же эмпирические корни. Нужно только учесть, что некоторый базовый уровень задается интуитивно, чувство количества, числа, счет, сравнимость, положение, длительность и тд. Эволюция проделала этот путь, и вшила этот функционал на уровне восприятия, рефлексов и тд. Человек развил этот функционал, исходя из практических потребностей, и перевел в коммуникативные формы — языковые и символьные. Если приводить конкретные примеры, то евклидова геометрия по способу происхождения и построению особо не отличается от той-же классической механики: аксиоматические теории с эмпирически обоснованным набором исходных посылок. Точно также фальсифицируемость евклидовой геометрии обеспечивают наблюдения или опыт. Опыт к примеру состоял бы в измерении суммы углов гигантского треугольника, или соблюдение равенства расстояния между очень длинными параллельными линиями. Либо наблюдения этих построений в выпуклых отражающих поверхностях, кот. как-бы намекали на ограниченность этих построений на плоскости) Конечно современная математика далеко ушла от этого уровня. Первичные абстракции были неоднократно обобщены и дополнительно абстрагированы, они живут собственной жизнью, и казалось бы не имеют никакого отношения к реальности. Так и есть, если рассматривать чистую математику, математику ради математики. Но как только абстрактные мат. теории востребуются физикой, или в др. науках, и выдают соответствующие реальности результаты они подтверждаются экспериментально, как модели, и возможно, фальсифицируют пред. модели. Как пример, использование неевклидовой геометрии в ОТО. Более того запросы физики стимулируют развитие мат. теорий во вполне определенном направлении. Это характерно и для нашего времени. Физики-теоретики пытаются применить любые новые мат. наработки для построения той же теории кв. гравитации, стимулируя развитие различных структурных подходов.
+1

Спасибо за содержательный комментарий.


Видимо сомневаетесь в существовании реальности за пределами наших органов чувств раз берете в кавычки слова о ней)

Тут я выступаю, скорее, как позитивист. Моё представление о познаваемом мире включает в реальность непротиворечивые формальные теории. Кавычки здесь отражают ощущение искусственности разделения мира на реальный и математический. Я сторонник той позиции, что математики, наравне с физиками, открывают и исследуют наш мир. Искусственные нежизнеспособные формальные системы ненаблюдаемы, в отличие от огромного числа взаимосогласованных структур и систем, составляющих интертеоретический фундамент как математики, так и физики.


Ограниченность критерия Поппера, как инструмента, уже хорошо осознана и освещена, но мне важно познакомить широкого читателя — старшеклассника, студента с самой идеей и постановкой эпистемологического вопроса. О том сколько копий сломано и как шкивало философию XX века от верификационизма через постпозитивизм до постмодернизма и эпистемологического анархизма, он узнает потом, когда поймёт о чём, собственно, речь. Я сомневался, стоит ли вообще упоминать философию, но некие базовые вещи, нужные для отсева информационного шума, думаю, стоит вводить.

0
Число Pi, тоже записывается очень красиво при помощи рядов. Возьмите разложение арктангенса в ряд Тейлора или Дзета функцию, там еще можно получить формулу через произведение всех простых чисел. Необязательно, чтобы все фундаментальные числа имели красивое представление в бесконечной дроби.
0

В виде рядов, конечно, можно, причём неограниченным числом способов, и ни один из них не является универсальным для какого-либо широкого класса чисел, к которым относилось бы число пи. И, конечно, необязательно, но обидно :)

0
пожалуйста, исправьте «теория вероятности» на «теория вероятностей»
Only logged in users are able to leave comments. , please.