Comments 127
А какой ошеломительный путь прошли фотоны от далёкой звезды!? Десятки тысяч лет они неслись сквозь Вселенную, их не поглотила пыль им не встретился астероид! Родились они в квантовом мире далёкой звезды, а закончили свой путь в квантовом мире белка опсина на сетчатке в моём глазу.

Меня в этом процессе еще поражает (прямо как том в анекдоте): если я вижу так много звезд в небе, это же сколько фотонов так и не попадает мне в глаза (и я не вижу эти астрономические числа звёзд)!

Статья замечательная.
В "Отлична от нуля лишь мера сплошного отрезка, пусть даже очень маленького." Лишь — лишнее.

3. Если одно событие влечёт за собой другое, то вероятность второго не превышает вероятности первого. Отношение «влечёт за собой» для событий эквивалентно «является подмножеством» для множеств.

Это просто неверно. И очень частая ошибка в логических построениях
Например, старение влечет за собой смерть, однако смерть может наступить и по другим причинам.

Всё верно, но не торопитесь. Вы говорите об отношении "следствие" (импликация), а третье свойство — всё-таки, о включении. Ваш пример со смертью и старостью, применительно к этому свойству толкуется так: вероятность наступления смерти выше вероятности наступления старости, поскольку, в вероятностном пространстве событие "смерть" является объединением других событий, таких как "старость", "несчастный случай", "самоубийство" и т.д. каждое со своей мерой. Итого — мы все умрём :) Импликация подводит нас к вычислению условной вероятности.
Колмогоровский подход, дополненный байесовским близок мне именно тем, что он аккуратно отделяет теорию вероятностей от логики, формализуя её на языке теории множеств. В итоге, многое удаётся понять просто рисуя диаграммы Венна.
Но вы правы, мне стоит подобрать другое слово вместо "влечёт за собой", оно уводит мысль в сторону. Либо привести пример, допустим, ваш, если вы не против.

Пусть А влечёт за собой Б, тогда А лежит в Б, тогда мера А не превосходит меры Б, тогда вероятность А не больше вероятности Б.

Мы все умрем, и каждый умирает с вероятностью единица. Но я живу, и восхищаюсь снежинкой, упавшей на нос или отличной статьей, попавшей в поле зрения...

каждый умирает с вероятностью единица

Вы не можете этого утверждать, пока не все умерли. И даже когда умрут все. Впрочем тогда это никому не интересно. Ваше заключение основано на неполной индукции.
Сравните с: «2020 года никогда не было и поэтому его не и будет...»

Это утверждение не вероятностное и не индуктивное. Это свойство типа животных, к которым мы относимся — неотъемлемая часть того, что мы называем жизнью. Чтобы его опровергнуть нужно либо случайно не умереть, что приводит нас с ростом времени к нулевой вероятности, либо перестать принадлежать к нашему типу.
Так что я думаю, противоречия здесь нет. Осмысленное утверждение основывается на исходных посылках, в данном случае посылка "человек смертен", можно добавить "почти наверняка".

Если одно событие влечёт за собой другое, то вероятность второго не превышает вероятности первого. Отношение «влечёт за собой» для событий эквивалентно «является подмножеством» для множеств.

В общем случае это неверно потому, что приводит к классической ошибке «после — значит вследствие», и является следствием того, что восприятие нашего мира — одномерно, в котором мы воспринимаем события последовательно, одно за другим. В то время как мир — многомерен и события связаны между собой более сложными связями, чем исключительно «причина → следствие», в том числе и взаимосвязанными.

Пример.

С точки зрения курицы в курятнике, сначала включается свет, и только потом появляется человек — из чего она делает вывод, что появление человека является следствием включения света. В то время как на самом деле наоборот — это человек включает свет, т.е. появление света является следствием деятельности человека.

Примером взаимосвязанных событий являются клеточные автоматы, в частности, игра «Жизнь». Рассматривая переключение состояния клетки с 1 на 0 и наоборот как событие, мы не может установить между соседними клетками причинно-следственные связи, поскольку при расчёте следующего поколения они равнозначны. Рассматривая более сложные композиции такие как «глайдер» — можно интерпретировать их как движение, а причину этого движения найти ранее — например, в «глайдерном ружье». Однако единственной причиной движения «глайдера» является его структура, а непосредственно само движение в него никем не закладывалось — соответственно, и любые причинно-следственные связи поведения «глайдера» являются ошибочными.

Или же можно вспомнить задачу трёх тел, в котором построение отношений «что вокруг чего крутится» невозможно по определению — хотя и можно сделать упрощения в тех случаях, когда массы тел сильно отличаются.

Теория вероятностей — это упрощённая модель реальности при отсутствии достаточных данных, а вовсе не основа мироздания. Если, опять же, рассматривать последовательность псевдослучайных чисел — то вероятность угадывания каждого следующего сильно зависит от того, знаем мы алгоритм генерации или нет.

Я ответил на подобное возражение в предыдущем комментарии. Здесь нет речи об условной вероятности либо причинно-следственной связи. Пример со смертью лучше отражает понятие включения. Как только мы усматриваем обусловленность (зависимость), вспоминаем Байеса.


Любая модель — это модель, упрощение тут не причем. Некоторые объекты реального мира (квантовые явления, например) не моделируются ничем, кроме вероятностей в принципе и никаких достаточных данных тут быть не может. В хаотических системах данных достаточно, но результат все равно останется случайной величиной. Это-то и интересно!!

У вас написано «влечёт», а не «включает», и вы ответили на то сообщение, а не на это. Что во что включает в моих примерах?

Да, я поменяю формулировку, она, действительно, приводит к недопониманию. В ваших примерах нет включения, а есть обусловленность человек -> свет либо свет -> человек. Аксиоматика Колмогорова не описывает понятие независимости событий, это дополнительные определения.


Про глайдер в Жизни — это интересно. В математике структура кроме множества элементов подразумевает набор отношений с указанными свойствами. В игре Жизнь движение глайдера предопределено правилами автомата. Жизнь — необратимый, но детерминистический автомат, в нем будущее полностью определяется прошлым.


Отношение "что вокруг чего крутится" очень хорошо строится, просто оно симметрично. Нас же не смущает симметричность в отношении "вершины A и B связаны" в неориентированном графе? Так и тут между тремя телами имеем граф связности и переходим для удобства куда надо. Лучше всего, в центр масс :)

Жизнь — необратимый, но детерминистический автомат, в нем будущее полностью определяется прошлым.
Я слышал, что к реальной жизни это также применимо.

Ограничено применимо. Кроме проблем с симметрией, в этом подходе есть проблемы с вычислимостью. Однако как модель, она небезинтересна и может быть полезной.

Строго говоря, не очень применима́. В модели Конвея не выполняются законы сохранения. Для ее существования требуется внешний источник энергии, не являющийся частью модели. Физике интересны замкнутые модели. А вот например биологии или социологии открытые.
А математике и те и другие.
Ну да, это же всего лишь теория, как и теория струн, например. Мне она и самому не особо нравится — так как её следствием является отсутствие свободы воли.
Золотые слова! Сейчас, кажется, уже принято считать, что наша вселенная не замкнута, то есть, законы сохранения в ней выполняться не обязаны.
Про аналогию между мерой и вероятностью: какие свойства теории вероятностей соответствуют неизмеримым множествам?
Отношение «что вокруг чего крутится» очень хорошо строится, просто оно симметрично. Нас же не смущает симметричность в отношении «вершины A и B связаны» в неориентированном графе? Так и тут между тремя телами имеем граф связности и переходим для удобства куда надо. Лучше всего, в центр масс :)
Я не совсем понял ваш ответ. Вот тут говорят, что формулировка «земля крутится вокруг солнца» лженаучна, потому что никакого вращения нет в принципе — ни вокруг солнца, ни вокруг любого другого центра масс.

Помню эту статью, хорошая. В ней, как раз, очень хорошо показан формализм, который, собственно и объясняет кто вокруг кого с точки зрения физики. Но тут говорить именно о вращении нельзя — если под вращением понимать круговое движение, ведь траектории некруговые. Впрочем, и это не мешает нам построить отношение "вертится вокруг" со смыслом "находится в сфере тяготения".

Некоторые объекты реального мира (квантовые явления, например) не моделируются ничем, кроме вероятностей в принципе и никаких достаточных данных тут быть не может.
Так и речь тут вроде не о квантовых явлениях, а о макро-объектах, на которые свойства квантовой механики автоматически не распространяются.

Обсуждаемые свойства вероятности относятся к математической абстракции и неважно к чему она применяется.

А что, если у математических абстракций есть ограниченная область применимости и за пределами этой области они теряют смысл и приводят к ошибкам? К примеру я слышал, что квантовая механика и теория относительности не пересекаются; а классическая механика Ньютона применима для расчёта баллистических траекторий на небольших скоростях и расстояниях, но не применима для GPS навигации, поскольку время будет утекать.

Ограниченная область применимости есть у моделей реального мира, основанных на математических абстракциях, а не у самих абстракций. Абстракции существуют сами по себе, единственное требование к ним предъявляемое — логическая согласованность (непротиворечивость). "Полезность", применимость к реальности, это выясняется по мере развития естественных наук. Пока полезным оказывается практически всё :)

Ограниченная область применимости есть у моделей реального мира, основанных на математических абстракциях, а не у самих абстракций.
Это лишь другая формулировка, которая ничего не меняет — вы ведь рассуждаете не о чистой математике, а о реальном мире. И пока у вас получается не «теория счастья», а «теория несчастья»; кроме того, у вас нет разделения между «событием» от «интерпретацией события».

Теория вероятности применима к анализу экспериментальных данных, но совершенно не учитывает человеческий фактор; и уже только поэтому не может автоматически распространятся на все сферы человеческой жизни.

Меняет-меняет, это не просто игра формулировок. Смотрите, группа, алгебра де Моргана, линейное пространство, плотность вероятности, всё это — математические структуры, алгебраические системы или абстракции, не имеющие отношения к реальному миру. С них нет спроса о границах применимости — только строгие определения и свойства, которые можно доказать — не интерпретировать, не приблизить, не придумать, а доказать.


С другой стороны, вращение физического тела, течение воды в разветвлённом трубопроводе, скорость материальной точки, местонахождение электрона — это реальные явления и величины и их нужно как-то моделировать. Вращение можно моделировать вещественным числом, кольцом вычетов, группой вращения, матрицей поворота или кватернионом. Скорости удобно описывать, как линейные пространства, но у этой модели есть ограничения при релятивистских скоростях, тогда лучше использовать четырёх-вектор с другими свойствами. Потоки воды и гидравлические сопротивления можно описать алгеброй де Моргана, но не для всех гидравлических сетей, а для некоторого широкого класса. Положение электрона, при описании одних явлений моделируется радиус-вектором, а в других — как случайная величина с известной плотностью вероятности. Модели имеют ограничения, они — упрощение реального мира. Математики, строя свои системы, могут об этом не думать.


В этой книжке я рассуждаю, по большей части, о чистой математике. А использую примеры из условно реального мира, как иллюстрации. И я намеренно не рассуждаю ни о психологии, ни об интерпретации событий или о человеческом факторе, поскольку они трудно формализуются и вызывают споры. Моя же задача — показать как устроен математический аппарат теории вероятностей и математической статистики тем, кому это интересно, но кто не получил (ещё) последовательного математического образования.


Теория вероятности применима к анализу экспериментальных данных, но совершенно не учитывает человеческий фактор; и уже только поэтому не может автоматически распространятся на все сферы человеческой жизни.

Теория вероятностей применима к более широкому классу задач, чем анализ экспериментальных данных (это, скорее, область статистики), но у её создателей никогда не было цели распространить теорию на все сферы человеческой жизни.


И пока у вас получается не «теория счастья», а «теория несчастья»;

Бартош Милевский иллюстрирует основы теории категории на хрюшках. Но его книги и лекции, всё-таки, не о хрюшках. Моими хрюшками оказались ироничные законы подлости, а называть книжку "Теория несчастья" или "Теория подлости" я не хочу.

Меняет-меняет, это не просто игра формулировок.
Но вы же понимаете, что я говорил именно о моделях, а не о математических абстракциях?

Модели имеют ограничения, они — упрощение реального мира. Математики, строя свои системы, могут об этом не думать.
Да, математики могут не думать. А вот физики думать должны. Задача физики же не в том, чтобы объяснить устройство мира — с этим и теологи прекрасно справляются. Задача физики в том, чтобы миром управлять; и из математических моделей строить реальные устройства. И если работоспособность модели невозможно проверить экспериментом — то ценность этой модели в физике равна нулю.

А использую примеры из условно реального мира, как иллюстрации.
Вот тут-то я и усматриваю подводные камни, которые могут привести к ошибочным умозаключениям неподготовленного читателя. Одно дело, когда мы бросаем кубик — это эксперимент в чистом виде, в котором влияние непредвиденных факторов сведено к минимуму. И совсем другое другое дело — когда кубик бросает кто-то другой. Этот кто-то может банально утяжелить одну из граней, и тогда все наши статистические вычисления идут к чёрту. В реальной жизни кубик всегда бросает кто-то другой.

Моя задача — показать как устроен математический аппарат теории вероятностей и математической статистики тем, кому это интересно, но кто не получил (ещё) последовательного математического образования.
Боюсь, что чтобы увидеть математический аппарат — нужно сначала знать, как этот самый аппарат выглядит. А если не знать, то можно увидеть совсем не то, что показывает автор. И самое печальное — можно получить иллюзию знания вместо самого знания — после вашей книги читать Крамера будет очень, очень сложно)

Теория вероятностей применима к более широкому классу задач, чем анализ экспериментальных данных (это, скорее, область статистики)
«Есть 3 вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика»© В частности, помимо корреляции есть ещё и ложная корреляция — и отделение одного от другого может оказаться весьма нетривиальной задачей.

называть книжку «Теория несчастья» или «Теория подлости» я не хочу.
Ну, есть же ещё много других вариантов названий) А так получается, что никакого счастья быть не может — доказано ведущими стоматологами математиками.

Вам знакома книга «Как не ошибаться. Сила математического мышления» Джордана Элленберга? Вот её название совершенно точно отражает содержание.


P.S. на всякий случай: вы же просили комментарии, чтобы сделать вашу книгу лучше? Не воспринимайте мои слишком всерьёз — это комментарии гуманитария)
«появление человека является следствием включения света.»
Жизнь она такая — хитрая. Не включится свет — ну там лампочка перегорела — человек пойдет за фонариком. И свет таки будет! А включился свет случайно — замкнуло что-то в выключателе например — человек придет посмотреть что случилось — не воры ли залезли.
Вот и попробуй объяснить курице, что оно работает как-то по другому. А люди — те же курицы на каком-то уровне сложности задач. )))
UFO landed and left these words here
UFO landed and left these words here
Мне тоже название диссонирует содержанию статьи.
Я правильно понял, если обобщить всё написанное выше — все случайности носят закономерный характер зависящий от статических переменных?

Нет, не все. В детерминированных системах, чувствительных к начальным данным — полностью закономерный характер. В детерминированных хаотических системах начальные данные тоже влияют, но существеннее вклад сколь угодно малых отклонений в ходе самого процесса. В стохастических системах случайность заложена в саму природу системы и присутствует на уровне уравнений либо параметров.

причём тут счастье?
Счастье — в математике, на которую законы подлости не действуют)
Ещё мне кажется, что вы выбрали не самые подходящие аттракторы для иллюстрации. На аттракторе Лоренца точки бифуркации более очевидны.
Ни одномодовых лазеров, ни конвекций в тороидальной трубе я обычно в жизни не наблюдаю.
Вот вам более приземлённый пример.

Вы пошли в магазин за новым айфоном и оказалось, что там две примерно одинаковых очереди. Пока вы выбираете, в какую очередь встать — вы находитесь в неустойчивом положении и ваш выбор со стороны предсказать невозможно. А вот после того, как выбор сделан — пути назад уже нет и траектория до следующей точки бифуркации предопределена; а её устойчивость обеспечивают граждане спереди, сзади и ограничивающие заборы по бокам.
Ну так и до буриданова осла опустить можно. Только неочевидность по сравнению с примерами статьи зашкаливает

Пример, стати неплохо иллюстрирует последние абзацы главы. В аттракторе Лоренца в режиме развившегося хаоса траектория большую часть времени представляет собой "нормальные" затухающие колебания, пока внезапно её не "выбрасывает" в сопряженную плоскость, где она вновь ведет себя "нормально".

А можно разжевать на более понятном примере? Я как-то совершенно туплю и не могу проложить параллель.

Аттрактор Лоренца хорошо демонстрирует один из сценариев развития хаоса — перемежаемость. Система большую часть времени ведет себя детерминировано, но в некоторые моменты перескакивает либо в хаотическое состояние либо в одно из сопряженных детерминированных состояний. И вот эти-то моменты происходят непредсказуемо. Осциллятор Дюффинга тоже имеет такие режимы, при относительно низких частотах возмущения. Однако, я бы не стал обобщать этот сценарий на нашу жизнь: это довольно тонкий эффект, который легко "забить" внешним стохастическим воздействием.

Ну так и до буриданова осла опустить можно. Только неочевидность по сравнению с примерами статьи зашкаливает.
В аттракторах из статьи отсутствуют точки бифуркации, хотя упоминание их имеется; и они постоянно находятся в устойчивом положении, что не является демонстрацией хаоса.

Всё-таки, бифуркации чаще всего относятся к изменениям параметра системы, а не к обобщенным координатам. Поэтому, рассуждая о структуре аттрактора говорят о границах области притяжения, а не о бифуркационных точках. Они находятся в разных пространствах.

буриданов осёл
Там ситуация другая — у осла есть бесконечное время для размышлений над принятием решения, вследствие чего он и рискует умереть с голода. В нашем же случае время для принятия решения ограничено (в непрерывной модели так и вообще равно нулю), сам выбор неизбежен и вариант «не принимать никаких решений оставаясь на месте» отсутствует. Вместо очередей можно рассмотреть перестроение автомобилей по полосам, а неустойчивость при равнозначном бинарном выборе рассматривается например здесь.

Я выбирал примеры из своей работы и из тех систем, которые легко себе представить. Аттрактор Лоренца стал поп-символом теории динамического хаоса, но он несколько специален и весьма неочевидно связан с метеорологией.

Хороший пример истинно стохастической системы — появление автомобилей на дороге.
Мне кажется, это не самый хороший пример. Движением автомобилей не управляет случайность. Автомобили не едут в случайную точку в случайное время и по случайному маршруту. Они едут конкретно (например) на работу, по определённому маршруту и в определённое время. Движение автомобилей регулируются светофорами, сервисами типа «Яндекс пробки» или социальными сетями, обеспечивающих (примерно) равномерную пропускную способность на дорогах. Появлению автомобиля предшествует звук мотора, свет фар или переключение светофора с красного на зелёный.

Если в детерминированной системе присутствует стохастический параметр, система становится стохастической. В случае одного транспортного средства такими параметрами являются трудно формализуемые намерения и обстоятельства человека, тесно связанные с намерениями и обстоятельствами неопределённого количества других людей. А для всего потока мы имеем целый ансамбль таких стохастических частиц. Ничто, правда не мешает стохастической системе быть управляемой, закономерно менять интенсивность, создавать волнообразное поведение и т.д. Ну, а то, что моменту регистрации автомобиля предшествует некая "аура" (шум, свет) не делает сам момент более предсказуемым, просто, поле создаваемое аурой сглаживается (шумовой фон над дорогой плавно меняется).

что не мешает стохастической системе быть...
Законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля для ансамбля автомобилей :)
Тогда получается, что и электрические цепи — стохастические, поскольку движение отдельно взятого электрона отследить невозможно. Но они же как-то работают, и даже рассчитываются через законы Ома, Киргофа и преобразование Лапласа (совсем не статистические методы)?

Так и есть, когда носителей заряда немного, или существуют сильные положительные обратные связи, то наблюдаются стохастические явления: фликкер-шум, например. Обычно же потоки зарядов имеют порядок сотых долей числа Авогадро и флуктуации уже не играют роли, можно методами статфизики или термодинамики переходить к макроскопическому описанию и к непрерывным моделям.

Стохастический характер системы не мешает существованию общих законов.

К примеру, все законы термодинамики можно вывести как следствия законов статистической физики.
Если в детерминированной системе присутствует стохастический параметр, система становится стохастической.
Тогда получается, что абсолютно все системы стохастические, поскольку случайность всегда присутствует на квантовом уровне. Или нет?

Об этом я и хотел сказать, критикуя вульгарный "эффект бабочки": влияние флуктуаций в устойчивой системе не выходит за пределы своего масштаба. Броуновское движение наблюдается на масштабе флуктуаций давления в жидкости, но исчезает уже на сотне микрон — усредняется. По асфальту маленькая бусинка будет катиться стохастически, а шарик от подшипника ровно. И лишь в неустойчивом и неравновесном состоянии: при фазовом переходе, например, флуктуация может стать ядром конденсации и вырасти в каплю или кристаллик.

Правильно ли я понимаю, что подмножество стохастической системы вовсе не обязательно должно быть стохастическим?
«Подмножество» я употребил в том же смысле, в каком множество целых чисел является подмножеством комплексных. В то время как «подсистема» предполагает разбиение на компоненты.

Всё равно непонятно, у вас размерности не сходятся :) Болтики — подмножество самолёта? Подсистемы могут быть стохастическими, а могут не быть. Идеальный газ — стохастическая система, его подсистема из одной молекулы — нет, из двух — тоже нет. Для сотни молекул уже можно подтвердить гипотезу о том, что их энергии подчиняются распределению Гиббса и говорить о температуре и энтропии с 10% точностью. Для моля газа термодинамика встаёт в полный рост, но всё равно остаются флуктуации. Однако все эти подсистемы — не просто подмножества множества молекул, они обладают системными свойствами: отсутствие взаимодействия друг с другом, сохранение импульса и энергии и т.д.

Одна и та же система может рассматриваться на разном уровне детализации и абстракции.

Вот ЭВМ — это же вроде детерминированная система? 2*2 всегда равно 4. Но реализована она на электронных компонентах, которые, по вашему утверждению, детерминированными не являются.

При токах и температурах процессора и памяти, очевидно, что система вполне детерминирована. Миллиграмм кремния это 28 миллимолей — огромное число частиц! Чтобы получить квантовую стохастику в макромасштабе для квантового компьютера вон как стараются!
И, знаете, меня не покидает ощущение, что вы по-доброму дразнитесь, задавая столько вопросов :)

Нет, я не дразнюсь. Как оказалось, моё понимание сути хаоса несколько отличается от вашего. Возможно, в чём-то оно ошибочно. Мне хочется разобраться, действительно ли это ошибка. Если да, то исправить, если нет, то убедиться, что её нет. Ну и всегда приятно пообщаться с умным человеком)

Перейду к сути. Если стохастическую систему в виде электронной цепи с неопределённым поведением электронов можно использовать как детерминированную машину для вычислений, то где истина? Какой системой она является на самом деле — стохастической или детерминированной, если физически — это одно и то же устройство?
Я влезу в тред извне.

Дело в том, что вы не можете просто так трактовать систему с неопределенным поведением компонентов как идеальную детерминированную систему. Но в практическом смысле для всех разумных задач вы можете трактовать некоторые системы как почти идеально детерминированные системы.

Математикам различие важно, физикам — по барабану.

Замечание: есть ряд случаев, когда можно трактовать систему со стохастическими компонентами как полную идеально детерминированную. Например, стохастический компонент может быть не связан с другими компонентами и не будет влиять на общее поведение системы (является ли это системой — зависит от вашего словаря). Или можно доказать, что стохастический эффект аннулируется (например, у вас есть набор логических вентилей, которые выдают константу вне зависимости от входа). Но, как правило, это никому не интересно.
вы не можете просто так трактовать систему с неопределенным поведением компонентов как идеальную детерминированную систему.
А я и не пытаюсь. Я её трактую как модель идеальной детерминированной системы. Моделировать же в обе стороны можно — никто не запрещает моделировать идеальные математические структуры средствами неидеальной бренной реальности.

И в рамках этой модели мне совершенно неважна хаотичность на уровне электронов.
Тогда можно на ваш вопрос ответить так: одно устройство описывается двумя моделями: и стохастической, и детерминированной.

Польщен.


У Макса Фрая есть такой пассаж: "В море есть остров, на острове — гора, на горе — дуб, на дубу сидит свинья, в свинячьих потрохах — утка, в утке — яйцо, в яйце — микроб, у микроба под язычком — шкатулка, а в шкатулке — САМОЕ ДЕЛО.
Так вот, на САМОМ ДЕЛЕ все не так, конечно."


Это несерьезно, но отражает суть моего видения мира. Мы с этого начали нашу дискуссию: система одна, она существует объективно и обладает рядом свойств. Но если необходимо её моделировать, то я выбираю наиболее подходящую модель из арсенала исследователя. И ни одна модель, которую я выберу, не будет системой "на самом деле". Впрочем, ряд свойств у них может совпадать.


Стохастическая модель бита в ячейке памяти будет тривиальна и неполезна и не будет отражать её свойств. Классическая модель транзистора в ячейке памяти тоже не будет работать, она дает непрерывный энергетический спектр электронов, а он не таков, там есть зоны запрещенные и свободные. И только квантовая модель позволяет точно описать, а значит и построить по модели, реальный транзистор на кристалле. При этом, состояние ячейки, и её взаимодействие с другими, подобными ей, лучше всего описываются полукольцом (булевой алгеброй), что нам и нужно.


Динамический хаос моделируется дифурами дискретными отображениями и топологией, однако, ряд его свойств так описать не получается: решения не повторяются, совсем как в стохастических системах, и тогда мы пользуемся вероятностными методами или привлекаем фрактальную геометрию. Ни одна из этих моделей не является исчерпывающей.


Если на дорогу выпускать в случайном порядке машины, лучше всего это опишет пуассоновский процесс и подсчет машин в интервал времени будет моделироваться случайной величиной. Но если, мы поставим шлагбаум и будем перекрывать движение, то сможем на какое-то расстояние передавать потоком машин сигналы, скажем, морзянкой. Управление — детерминированное, поток --стохастичный, система — ??


Это как с жизнью: атомы точно не живые, аминокислота, белок не живые, клетчатка, РНК, фосфолипиды, сахара не живые. Но РНК плюс белки рибосомы плюс аминокислоты кое что уже могут: собирать другие белки. Чуть повыше: фосфолипидная мембрана, ядро, аппарат Гольджи, хлоропласт, хромосома — не живые. Но митохондрия — пузырек из мембраны с ДНК и ферментами кое что уже может: размножаться, производить АТФ. И так далее. Вирусы — вы кто? Прионы — вы живы или нет? Риккетсии — скорее да, чем нет. Наконец, кошка, вот это точно живая система. Но вдруг, у кошки остановилось сердце. Инфаркт у кошки. Что поменялось? Белки? РНК? рибосомы испортились? Липиды рассосались? Митохондрии передохли? Нет, но кошка уже не живой объект. Это я к чему: начиная с определенного уровня, трудно или даже невозможно однозначно определить характеристику системы.


Хаотичность, стохастичность и самоорганизация происходят в достаточно сложных системах, так что границу уже трудно провести. Конвективная ячейка — это самоорганизация, а кристалл — это самоорганизация? а ансамбль молекул дружно двигающихся в одном направлении? наверное, да… а если это падающий кирпич? Не берусь провести границу, хоть занимался этими вещами профессионально.


А вот природы квантовой стохастичности я вообще не представляю. Может быть, это следствие истинной гамильтоновости этих систем. Но я принял для себя, что чем бы ни была система "электрон" на самом деле, вероятность его регистрации лучше всего описывается волновой функцией. Он не волна и не частица, он электрон. Это вероятность ведет себя как волна. Подозреваю, что истинные квантовики меня поднимут на смех за такое наивное представление, но оно примиряет с корпускулярно-волновым дуализмом и позволяет решать задачи.

Когда-то давно философы выясняли вопрос, что первично — материя или сознание и познаваем ли мир или нет. Сейчас эти холивары перешли в другую плоскость: что первично — объективная реальность или мат.модель, его описывающая, это реальность хаотична или это модель несовершенна? Может ли математика описать вообще всё или у неё тоже есть ограничения?

Можно ли назвать динамическую систему хаотичной, если она однозначно описывается дифференциальными уравнениями? Можно ли фликкер шум считать хаосом, если его спектр не выходит за границы розового шума?

На все эти вопросы нет ответа.

Вы совершенно верно описали дискурс. Я уже писал здесь на Хабре, что математика — последний оплот идеализма в прагматичном мире.

Об этом я и хотел сказать, критикуя вульгарный «эффект бабочки»: влияние флуктуаций в устойчивой системе не выходит за пределы своего масштаба.
Ситуация с «эффектом бабочки» несколько глубже. Дело даже не только в том, что человек имеет склонность выстраивать причинно-следственные связи там, где их нет и быть не может, в том числе и по причине чисто логического мышления. Дело в том, что математически нам привычнее рассматривать систему с точки зрения синтеза, когда поведение системы обусловлено поведением её более мелких подсистем, нежели с точки зрения анализа, когда наоборот, поведение подсистемы определяется системой в целом.

Теперь возьмём бабочку и заменим её на вирус. Пока он не оказывает влияния на человека — он, безусловно, флуктуация, да и размеры его ничтожны. Но как только он мутирует до смертельного и начинает бесконтрольно распространяться, убивая всё живое, то тут два варианта интерпретации:
1) влияние флуктуаций в устойчивой системе таки вышло за пределы своего масштаба,
2) система потеряла устойчивость и неважно, от чего они там все умрут.

Конкретно в случае с вирусом — он существенным образом является частью системы, используя и вмешиваясь в ключевой аппарат жизни на клеточном уровне — в репликацию и трансляцию. В рамках одного инфицированного организма не мутации вирусов вызывают катастрофу, а переход количества в качество — от латентного состояния вирионов к лизису клеток. А вот эпидемиологическом плане мутации, действительно, играют очень важную роль. Впрочем, хоть я и интересовался этой темой, лучше туда не полезу, знаний не хватает.

А какой ошеломительный путь прошли фотоны от далёкой звезды!?


Интересно кстати и дургое: Конечно-ли колличество фотонов испускаемое звездой? Фактическо эти фотоны могут быть зафиксированны в точке Х и в точне У. И Х и У могут быть сколь угодно близко. То есть конус фотонного пучка от звезды к нам он же ничтожно мал, но плотность фотонов в нем выходит огромна. Можно ли ее рассчитать? Есть ли такие звезды, которые находятся так далеко, что от них фотоны регистрируются на земле гораздо реже, но регистрируются?

Про бутерброд… Мне тогда лет 14 было. Уронил бутерброд. Естественно, он упал маслом вниз. Так как бутерброд все равно уже был не пригодным в пищу, я решил выяснить, а с какой вероятностью он падает маслом вниз (я уже тогда знал какие-то азы теории вероятности). По результатам около десятка бросаний, и перемазанного в масле пола выяснилось, что вероятность маслом вниз, значительно выше 0.5. Дальше я буквально лег на пол и стал внимательно наблюдать за падающим бутербродом. Оказалось, что падать он может совершенно в произвольном положении, и маслом вниз и маслом вверх и на торец и как угодно. Но! Если бутерброд упал маслом вниз, то он тут же приклеивается к полу. Если строго маслом вверх, то так и остается лежать маслом вверх. А вот если чуть под углом или на ребро, то тут начинается самое интересное — бутерброд чуть-чуть подпрыгивает (упругость хлеба достаточна, чтобы подпрыгнуть на несколько сантиметров), переворачивается и приклеивается к полу маслом вниз. Так что эмпирический «закон бутерброда» действительно существует и никаких законов физики и математики не нарушает.

Следующая глава посвящена именно механике бутерброда :)
А вы описали прекрасный пример рождения исследователя!

Нужно ещё учесть, что плотность масла (0.9 )значительно больше плотности хлеба (0.4), сопротивление воздуха будет переворачивать бутерброд маслом вниз, как парашют. Видимо метра высоты хватает чтобы эффект был заметен, можно промоделировать на компьютере, сэкономить масло, система то не очень сложная.
Насколько я помню, проводилось даже вполне научное исследование, которое показывало, что очень сильно влияет высота стола (т.е. сколько оборотов успевает сделать бутерброд). И для типовой высоты столов, а также того факта, что изначально бутерброд лежит маслом вверх — вероятность падения маслом вниз существенно больше 0.5
А вот если бы столы были выше (точно уже не помню, но кажется ~2 метров), то вероятности были бы другими

Впрочем, если маслом намазать обильно, то вступят эффекты описанные ниже (масло плотнее и тяжелее), что еще ухудшает шансы падения маслом вниз и, возможно, даже высокий стол не подходит
Иногда, гуляя в снегопад, я удивляюсь тому, что снежинка падает мне на нос. Удивляюсь оттого, что вероятность этого события была ничтожно мала. Если рассудить, она родилась высоко в небе над Тихим океаном, кружилась в беспорядочных турбулентных потоках в облаке, падала непрерывно меняя направление движения… чтобы попасть на кончик моего носа!

Ну, если именно эта снежинка, то да. А если вообще любая, то ничего удивительного, ведь во время снегопада их как песка на пляже)

Хотелось бы подробнее узнать про идеальный шарик, подпрыгивающий на идеальной пружине. Почему там сложности и невозможно просчитать его движение?
Ну, если именно эта снежинка, то да. А если вообще любая, то ничего удивительного, ведь во время снегопада их как песка на пляже)

Совершенно верно, мало кто из нас видел метеорит, хотя их полно вморожено о льды Антарктиды.


По поводу шарика. Если коротко, то это гамильтонова система, в которой возникает разрушение резонансов. Посмотрите, например тут. Хаос по такому сценарию возникает при формировании планетезималей и колец вокруг планет-гигантов, в нелинейных бильярдах, волновых и квантовых системах. Об этом была хорошая статья на Хабре.

Но возраст двух людей нельзя определить, как сумму их возрастов.

Это выглядит немного натянуто. Почему нельзя? Обычное дело — «им на двоих сто лет».

Если кому-то может быть на двоих сто лет, то сколько же лет мне? Смотрите, я родился сорок лет назад, каждой мое руке — по сорок лет, родились-то мы одновременно, итого — 80! И ногам по сорок, в сумме 160. Но постойте, половинкам рук и ног тоже по сорок, значит, итого получаем 380! А их половинкам… и так далее. Таким образом, получаем что я вечен! А с другой стороны, если возраст моих половинок в два раза меньше моего, то выходит, что каждая из них родились двадцать лет назад. А их половинки — десять лет назад, а их половинки… и так далее. Значит я возник мгновение назад! Причём, сразу сорокалетним, то есть, вечным!
"Нам тридцать пять на двоих, мы не спускаем друг с друга глаз.." — это поэзия, там можно всё. Но мы на Хабре, у нас математика.

«Одно яйцо варится десять минут. Сколько нужно времени, чтобы сварить три яйца?»

О! Тут можно вспомнить про то, что процесс варки можно комбинировать двумя способами: последовательно и параллельно, после чего выдать три ответа!

Поэтичность это здорово ). Но приведенные примеры не слишком убедительны.
Мысль понятна, просто имхо к возрасту людей не особо подходит.
Человек может быть по возрасту не делим (на руки и ноги), но аддитивен. Возраст множества людей — обычная линейная функция: age(p1, p2, ...) = age(p1) + age(p2) +… При объединении двух множеств людей возраст множеств складывается за минусом возраста пересечения. Все, как положено.

Тогда всему человечеству 7 * 30 = 200 миллиардов лет? А что с этим числом делать, чему оно соответствует? А ещё наша общая температура 2 триллиона кельвинов, можно не заморачиваться с синтезом! Не все функции аддитивны, даже, если они числовые.

Интересный, кстати, параметр — общий возраст всего человечества. Именно общий, а не средний. Поскольку как будто бы растет как продолжительность жизни, так и количество живущих человеков, то график скорости роста (за последние века) должен быть интересным.

Это как раз пример того, что знание среднего не эквивалентно знанию общего (если мощность множества не постоянна). Наличие параметра «средняя зарплата» не отрицает (а дополняет) существование параметра «общий ФЗП».
Ни о чем. Какая-то непонятная внезапная прокрастинация про математику и теорию вероятностей.

Ага, прокрастинация глав эдак на десять! С иллюстрациями и формулами… живут же люди! Им ещё за это деньги платят! :)

Какая-то непонятная внезапная прокрастинация про математику и теорию вероятностей.
Это статья вовсе не про математику и теорию вероятностей. Эта статья про монетку, которая ест людей. И про гиперболическую зебру. И про кошечку, которая живёт в кубике с дырками.
объемная область, которая заключает в себе странный аттрактор, рождающийся при вынужденных колебаниях толстой пластины.
Когда речь заходит о колебаниях чего бы то ни было, первое, что приходит в голову — это гармонический анализ. Рассматривали ли вы спектральные характеристики этого аттрактора, а также воздействие на них начальных и возмущающих условий?

Да, это была часть постдока. Это аттрактор шильниковского типа, рождается он в глобальной бифуркации, а не каскадом удвоения, так что спеатр его здорово зашумлён. Где-то есть статья (на корейском языке), где мы с соавтором этого зверя анализируем. Но это было уже 15 лет назад :)

Не совсем. Там мы рассматривали гамильтонов хаос, Шильниковский механизм был найден позже. В этой системе очень богатый зоопарк сценариев и весьма развесистая бифуркационная диаграмма.

А вы не могли бы немного пояснить свою работу человеческим языком? Вникать в тысячу других ссылаемых работ, посвящённых сферическим дискам в вакууме, мотивации слегка не хватает)

Насколько я понимаю, колебания чего бы то ни было моделируются волновым уравнением. Колебания плоского диска были рассмотрены ещё два века назад лордом Рэлеем. В общем случае решение волнового уравнения нетривиально и решается численно.

У вас диск имеет толщину, что усложняет моделирование. Но вы волновое уравнение не рассматриваете, а рассматриваете упрощённую модель через моды, на основе которых строите 4-мерную мат.модель с многообразиями и траекториями. Она всё ещё описывает колебания или уже что-то другое?

Колебания — это один из видов движения динамической системы в окрестности устойчивой точки эллиптической во втором приближении. Если интересующие нас явления существенно нелинейны, тогда для анализа второе приближение дополняется третьим, четвёртым и т.д., пока не выплывет нужный эффект. Для большого числа бифуркаций, в том числе, приводящих к хаосу, построены т.н. нормальные формы — простейшие дин. системы, демонстрирующие нужное поведение. В то время шла охота на такие формы в разных системах и набиралась их систематика. Численное решение получить можно всегда, но оно менее ценно, чем последовательный асимптотический анализ. Этим мы и занимались, кроме прикладных задач, таких как определение параметрической области хаотических режимов в автоматической системе управления подвеской сидения экскаваторщика, использующую пружины с отрицательной жёсткостью (это делали в Дэу моторз).


А волновое уравнение это особый случай для полей или сплошных сред. В решении для пластины оно уже не нужно, там спектральный анализ от ДУЧП переводит нас в систему ОДУ.

Кажется, начинает доходить) Я всё думал, откуда там взялась нелинейность? А сейчас вспомнил, что в реальном мире пластина не может изгибаться бесконечно и максимальная амплитуда её колебаний ограничена.

Дело даже не в этом. В тонкой пластине за упругость отвечает лапласиан — вторая производная, а в толстой — четвёртая и, кроме того, в уравнении появляется кубическая нелинейность.

Какова вероятность выпадения числа ноль? Ответ будет — ноль!
Раз об этом зашла речь, проясните один момент — реальное пространство дискретно или непрерывно? Я слышал, что с точки зрения квантовой механики пространство — дискретно.
ЕМНИП подозревают (с), что планковская длина является наименьшим возможным интервалом (каким — не помню) тут spacegid.com/plankovskaya-dlina-i-obem.html говорится, что она является нижним пределом, на котором действуют известные нам законы физики. Аргументы против квантования пространства там по ссылкам приведены, но по факту имеем пока что планковское ХЗ.
Непрерывное. Дискретное пространство было бы анизотропным, а таких свойств у него еще не обнаружили.
Анизотропия при увеличении дискретизации быстро сходится к исчезающе малым величинам, частный случай — Central limit theorem. К примеру в обработке изображений- какую бы функцию размазывания Вы не выбрали, при повторном многократном применении по ортогональным осям быстро сходится к изотропному гауссиану.

какую бы функцию размазывания Вы не выбрали, при повторном многократном применении по ортогональным осям быстро сходится к изотропному гауссиану.
Это весьма спорное утверждение. Поскольку размазывание реализуется через свёртку, а свёртку можно рассматривать как перемножение спектров, то бесконечное перемножение произвольных спектров никак не может сходиться к гауссиане.
Не произвольных, а положительных и ограниченных в пространстве- например прямоугольных.
Я же упомянул «размазывание»
Впрочем жить на клетках (в клетках? )мне тоже не нравится :)
Да не важно. Их же можно математически описать и аналитически посчитать предел в бесконечности.
Интересная теорема, не знал о такой. Но там говорится о распределении случайных величин, а не о функциях. На функции она не распространяется, что легко доказать от обратного.

Фурье-образом прямоугольной функции будет sinc, которая принимает нулевые значения в точках пересечения с осью абсцисс. Бесконечно умножая ноль на ноль всё равно получим ноль.

А Фурье-образом гауссианы тоже будет гауссиана, и она с нулём нигде не пересекается.
Вы не учитываете изменение масштаба. Свертка последовательности длиной N дает последовательность длиной 2*N-1.
Вот картинка свертки BOX функции с самой собой
i.stack.imgur.com/C389g.png
Обратите внимание на масштаб. В фурье(в частотной области) нужно соответственно растягивать результат после каждой свертки (умножения) иначе получите просто дельта функцию в нуле после многократного умножения. Запустите матлаб и сделайте свертку прямоугольной функции с самой собой и посмотрите.
Вы не учитываете изменение масштаба.
От изменения масштаба нули спектра никуда не денутся, а лишь так же изменят свой масштаб.

Свертка последовательности длиной N дает последовательность длиной 2*N-1.
Свертка последовательности длиной N — означает, что все остальные значения функции равны нулю. В непрерывном виде описывается через прямоугольную функцию, которая, в свою очередь, описывается через разницу двух функций Хэвисайда. Это условие не обязательно — свёртку можно делать и над бесконечной последовательностью чисел (если говорить о дискретной функции).

Вот картинка свертки BOX функции с самой собой
Да, я видел такие картинки, и тоже умею их рисовать.
Свёртки:

Спектры:

100 итераций:

Во всё увеличивающимся масштабе она будет сходится к гауссиане, но никогда не сойдётся — т.к. равенство между предельной функцией и гауссианой нельзя будет поставить даже с учётом масштаба. В моей последней статье рассматривался похожий сценарий.

Если бы центральная предельная теорема была бы применима к функциям, то её незачем было бы привязывать к теории вероятности.
какую бы функцию размазывания Вы не выбрали, при повторном многократном применении по ортогональным осям быстро сходится к изотропному гауссиану.
Утверждение спорным больше не считаю, забираю свои слова обратно.
Непрерывное
Как тогда разрешить апорию Зенона?

«Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Поэтому движение никогда не начнётся».
Очень просто: логический вывод в этой апории неверен. Нет никаких причин, по которым было бы невозможно преодолеть бесконечное число частей за конечное время.
Теория относительности говорит о фундаментальном ограничении скорости взаимодействия.
Скорость взаимодействия измеряется в метрах в секунду, а не в частях в секунду.
Неважно, в чём оно измеряется. Важно, что для последовательного перемещения из одной точки в другую нужно затратить некоторое время. Если этих точек бесконечное количество, то и суммарно времени нужно затратить бесконечное количество. Таково моё рабоче-крестьянское понимание.

Идея дискретности пространства не значит разбивку на пиксели. Оно значит устойчивые и неустойчивые положения. Ну или как-то так.
Важно, что для последовательного перемещения из одной точки в другую нужно затратить некоторое время. Если этих точек бесконечное количество, то и суммарно времени нужно затратить бесконечное количество.

Из первого второе не следует. Ничто не мешает суммарному времени быть конечным несмотря на бесконечное количество слагаемых.

Это очевидно в математике, но не очевидно в физике. По крайней мере, лично для меня.
В математике свойства системы от линейного масштаба не зависят, поэтому при вычислениях от размеров можно отказаться вообще. А в физике — зависят, и автомобиль размером с молекулу ехать не сможет.
Непрерывное
Хорошо, подойду с другой стороны. Насколько мне известно, эксперимента, доказывающего непрерывность пространства, пока ещё нет. Поэтому более точно сказать так: «Непрерывность пространства более точно согласуется с текущей физической теорией». Это я знаю.

Но я также и знаю, что физики-теоретики трудятся над новыми теориями потому, потому что в текущих теориях есть пробелы. Как минимум, квантовая механика и теория относительности — пока ещё разные теории. И если существуют физики-теоретики, считающие, что принятие дискретности пространства может решить какие-то проблемы — значит, на то у них есть основания.

Поэтому, если завтра вдруг на хабре появится статья "британские учёные доказали дискретность пространства" — мне будет проще её принять. Хотя для меня лично это совершенно ничего не поменяет. Но мнение настоящего физика на этот счёт услышать интересно — кому, как не ему, знать что творится на передовой науки.
Если принять бесконечность пространства, тогда оно не должно быть ограничено не только снизу, но и сверху (мне так кажется). Но вроде на текущий момент принято считать, что вселенная конечна.
Only those users with full accounts are able to leave comments. Log in, please.