Pull to refresh

Comments 50

Название вводит в заблуждение, так как это — не обоснование, а происхождение.

Упомянутая путаница владеет умом множества исследователей, которые так или иначе основывают свои рассуждения на мысли, что математическая «красота» связана с благозвучием. И хотя октава, например, звучит благозвучно, это происходит не от того, что частоты различаются вдвое, а от того, что подобное соотношение нам привычно (хотя бы по спектру человеческого голоса).

Попытка же рассматривать какие-то более сложные теории, ставящие в соответствие математическую и слуховую красоту (например, «генетические музыкальные строи») разбивается о достаточно низкую чувствительность человеческого слуха. Отличить чистую квинту (3:2) от равномерно темперированной (2^7/12 ≈ 1,4983) можно исключительно по биенями, а в составе более сложного аккорда это практически невозможно.

А к вопросу о «неблагозвучии» хочется привести интервал на четвертьтона больше тритона (2^13/24), с которого начинается третья прелюдия И. Вышнеградского.
И. Вышнеградский. 24 прелюдии в четвертитоновом строе. №3


Для непривычного уха это, пожалуй, куда более неблагозвучнее тритона, но после некоторой тренировки уха «хроматическая диатоника» Вышнеградского — прекрасна.
По моему опыту, для тренированного слуха, различить чистую квинту и равномерно темперированную не так уж сложно, хотя в составе аккордов уже проблематично.
А касательно диссонансов тут вообще больше поле психологии, т.к. были исследования (ссылочку не сохранил, к сожалению), которые показали, что диссонанс по сути — это просто непривычный звук. Если давать слушать человеку музыку с диссонансами, то через некоторое время они станут восприниматься вполне мелодичными.
разница частот между натуральной квинтой и равномерно-темперированной всего 2 цента. Если интервал звучит по времени полсекунды или меньше — невозможно различить
Если это чистые синусы, то биение всё-таки будет заметно за полсекунды. Вот 100 мс, скорее всего, уже за пределами человеческих возможностей.
Сгенерировал сумму синусов 400+599,32 (равномерно темперированная квинта) и 400+600 (чистая квинта). Биения с частотой ~0,68 Гц слышны на отрывке в полсекунды. Собственно, заметно меняется слышимая интенсивность комбинационного тона (200 Гц) — спасибо нелинейности слухового тракта.
Это невозможно, я думаю, вам кажется, что вы различаете. Вот вы пишите, что частота биений 0,68Гц, как вы можете услышать за полсекунды это биение, если за это время в ваше ухо не зашел не один полный период этого биения, а зашло только 0.34 от этого периода. Я думаю при слепом случайном тесте вы будете их путать 50/50.
В роли случайного тестирования — рандомизатор плейлиста. Узнал в среднем 9 из 10 несколько раз подряд (каждый раз, естественно, перемешивая). Впрочем, это работает только в том случае, если громкость достаточно большая, и комбинационный тон слышен хорошо. Если уменьшить громкость, то неразличимы.
если это правда, то это интересное научное открытие по работе мозга. Вы так меня заинтриговали, что я буду проводить эксперимент на разных людях
Вероятно, дело в том, как я отрезал 0,5 секунды. У меня чётко слышно затухание комбинационного тона, собственно, именно так я и отличал. Вот файлы, которые я использовал (01 — темперированный, 02 — чистый).
Спасибо! Я послушал ваши звуки. Я не слышу, но дело может быть во мне. Надо у звукорежиссеров спросить
Вот шесть секунд темперированной квинты и шесть секунд чистой. Попробуйте слушать в наушниках, постепенно увеличивая громкость, и в какой-то момент обязательно услышите комбинационный тон на 200 Гц (референс). В первой половине файла его слышимая громкость меняется, во второй — постоянна.
Почему на графике (AIMP) первые 6 секунд по синусоиде, вторые — ровно?
Спасибо! В вашем файле слышу биения. В первой половине длинные (период секунда или около), во второй половине быстрые биения (период меньше полсекунды)
Хм, даже и не могу предположить, отчего во второй половине биения. Там же чисто 400+600 Гц, и всё укладывается в 48 кГц дискретизации ровно. Может быть, у Вас звук выставлен на 44.1? Теоретически это может иметь значение…
А только я слышу? Вы у себя не слышите?
Название вводит в заблуждение, так как это — не обоснование, а происхождение.

Почему? Именно обоснование — пифагорейцы восхищались натуральными числами и отношениями между ними, и положили их в основу музыкального строя. По их мнению это правильней с «высшей» точки зрения.

То, что это деление пережило тысячелетия и сотни попыток «улучшения» свидетельствует об их правоте (в выборе наиболее благозвучного и удобного ряда).
То, что это деление пережило тысячелетия и сотни попыток «улучшения» свидетельствует об их правоте (в выборе наиболее благозвучного и удобного ряда).
А разве не равномерная темперация сейчас является стандартом?
Да. Но разве это не вынужденное упрощение пифагорова строя, не плоская цифровая копия с оригинальной картины маслом, не компромисс исключительно для того, чтобы делать музыкальные инструменты, на которых удобно играть?
Однако новая система Мерсенна была принята в штыки. Даже приятель Мерсенна по иезуитскому коллежу математик Декарт был возмущен надругательством над чистотой консонансов, а музыкантов, которые рискнут воспользоваться новой темперацией, назвал невеждами, не имеющими никакого представления о законах музыкальной науки. «Что касается Ваших музыкантов,- писал Мерсенну Декарт,- то какими умелыми Вы бы их ни делали, я должен сказать, что они или издеваются, или насмехаются, или никогда ничего не понимали в теории музыки». Чистота звучания и простота целочисленных отношений для консонансов, идущие от родоначальника европейской науки Пифагора, представлялись Декарту нерушимыми.

m03r выше указал на субъективность «благозвучия». Есть более объективные критерии — чистота звука. При чистой квинте имеем конечное число гармоник. При равномерно-темперированной — иррационально бесконечное. Звук «грязный».
Следующие несколько глав книги исследуют красоту звука математически. Рекомендую.
В том-то всё и дело, что «объективная чистота» звука, основанная на простых рациональных соотношениях заметно коррелирует с благозвучностью тогда и только тогда, когда одновременно взяты не более двух-трёх звуков. Как пишет Н. А. Гарбузов, «Математический строй, пифагоров чистый, двенадцатизвуковой, равномернотемперированный, а также строи получаемые путём деления октавы на большее, чем 12, число равных частей, существуют только отвлечённо теоретически; они неосуществимы даже на музыкальных инструментах с фиксированной высотой звуков (например, на фортепиано)». И далее: «Сведение в музыкальном искусстве интонационных явлений к определённым количественным соотношениям между звуками, иначе говоря, объяснение музыкальных явлений точечной, а не зонной, акустикой, недопустимо, так как порочность этого объяснения, вытекающая из всего изложенного выше, не соответствует закономерностям, наблюдаемым в музыкальной практике» (Гарбузов Н. А. «Зонная природа звуковысотного слуха». М., 1948. С. 81).

Впрочем, восприятие 24-тоновой темперации в данные Гарбузова ложится вполне нормально: согласно его экспериментам, путём тренировок ширину зоны можно уменьшить в среднем до 50 центов и совершенно дифференцировано воспринимать 24 различных тона в октаве (с. 15).
Это естественно, что при большом количестве одновременно звучащих нот человек перестает слышать чистоту консонанса. Человек может отличить свежий сочный помидор от лежалого, или парникового. Но если их использовать в перемешанном салате, то вряд ли.
Означает ли это, что в салат можно класть лежалый помидор вместо свежего?

Я бы взглянул на вопрос «чистоты звука» с другой стороны. Пифагорейцы были идеалистами. В хорошем смысле, не утопичном. Та же Библия, к примеру, также требует от христиан абсолютного отказа от зла. Очевидно, что это невозможно, ни сейчас ни в каком-то будущем. Но тем не менее эти вещи почему-то существуют.
Может и чистый строй тоже для этой цели? Как ориентир.
Вы так говорите, как будто иррациональное соотношение частот — это что-то плохое. А между тем, ни один инструмент даже в спектре одного тона не имеет точно натурального звукоряда. Из-за того, что струны фортепиано не бесконечно тонкие даже октавы получаются слегка больше, чем 2:1.

Ну и, разумеется, звук колокола не вызывает сомнений в своей приятности уху (если не слишком громко), а у любителей всяческой эзотерики вообще считается чуть ли не чудом каким-то. А между тем спектр его весьма далёк от гармонического (и содержит иррациональные соотношения частот).

Что же касается идеализма, то тут я воздержусь от комментариев, поскольку не вижу никакого смысла в наличии подобного «идеала» (хотя для других людей он вполне может и быть). Ясно одно — психоакустические закономерности иногда более или менее соответствуют ему, а иногда нет. Ситуация, на мой взгляд, аналогичная соотношению золотого сечения в живой природе.
Вы так говорите, как будто иррациональное соотношение частот — это что-то плохое.

Пифагорейцы в этом были абсолютно убеждены.

Математика состоит из теорий, которые прилагаются к реальной жизни с помощью своих моделей.
В математической теории музыки пифагорейцев благозвучность созвучий постулируется отношением натуральных чисел. Это аксиома. Она не доказывается, но берется догадкой из эмпирических исследований.
На основании этой аксиомы строится математическая модель строя — натурального.

Математическая модель с равномерно-темперированным строем к пифагорейской теории музыки с ее аксиомой не принадлежит — это близкое приближение, но отдельная теория и модель. В этой теории аксиома такая — соотношения должны быть по возможности близки к соотношениям натурального строя.
Она появилась из утилитарных соображений — потому что использовать модель натурального строя значительно сложней для производства музыкальных инструментов и написания музыки.

Теперь выкидываем из вышесказанного слово «благозвучность», и остается голая математика, без человеческого субъективизма. Просто две модели. Какая из них дает большее благозвучие — на усмотрение человека.

Я не музыкант и различий особо не слышу, мне интересна математическая сторона. И в ней я за пифагорейцев. Потому что в математике истинно обычно то, что красиво. И наоборот.

В книге еще несколько глав посвящены изучению консонансных соотношений с разных позиций. Посмотрите, если интересно.
Волошин

Колокол — совсем другое. Это как сравнивать борщ и картошку.
В математической теории музыки пифагорейцев благозвучность созвучий постулируется отношением натуральных чисел. Это аксиома. Она не доказывается, но берется догадкой из эмпирических исследований.

Вот это и было их ошибкой: на основании того, что 1:2, 2:3, 3:4 и т. п. звучат «благозвучно», делается вывод, что благозвучие «аксиоматически» связано с простыми соотношениями частот. Напоминает известный анекдот:
Способы доказательств
— Взгляни на этого математика, — сказал логик. — Он замечает, что первые девяносто девять чисел меньше сотни, и отсюда с помощью того, что он называет индукцией, заключает, что любые числа меньше сотни.

— Физик верит, — сказал математик, — что 60 делится на все числа. Он замечает, что 60 делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Он проверяет несколько других чисел, например, 10, 20 и 30, взятых, как он говорит, наугад. Так как 60 делится и на них, то он считает экспериментальные данные достаточными.

— Да, но взгляни на инженера, — возразил физик. — Инженер подозревает, что все нечетные числа простые. Во всяком случае, 1 можно рассматривать как простое число, доказывает он. Затем идут 3, 5 и 7, все несомненно, простые. Затем идет 9 — досадный случай; по-видимому, 9 не является простым числом, но 11 и 13, конечно, простые. «Возвратимся к 9, — говорит он, — я заключаю, что 9 должно быть ошибкой эксперимента».

Далее.
Она [математическая модель с равномерно-темперированным строем] появилась из утилитарных соображений — потому что использовать модель натурального строя значительно сложней для производства музыкальных инструментов и написания музыки.

Причина использования равномерно-темперированного строя — действительно утилитарная. Но она состоит не в сложности создания инструментов, а в его инвариантности относительно транспозиции. Настроить клавир в пифагоровом строе для опытного настройщика не составляет труда. Но натуральный строй звучит хорошо только в одной тональности и более или менее прилично ещё в нескольких. Остальные же дают заметную слухом фальшь. В мезотонике ситуация лучше: хорошо звучат около половины тональностей, но зато все имеют своё темперационное «лицо». В равномерно темперированном строе, соответственно, всё звучит хорошо, но и всё одинаково.

А если мы говорим про струнные и духовые, то, как известно, исполнитель может спокойно регулировать высоты издаваемых тонов, и, разумеется, ни один (хороший) скрипач или флейтист не играет в равномерно-темперированном строе (см. об этом, опять же, у Гарбузова). Завышение и занижение звуков обычно более или менее подчиняется гармонической логике, усиливая тональные тяготения.

Математическая модель — красива, не спорю. Но к музыкальной практике она имеет примерно такое же отношение, как «Гармония сфер» Кеплера к реальному устройству Солнечной системы. Да и восходит она, опять-таки, к пифагореизму.

Со временем, однако, становится понятно, что в применении к сложным явлениям простые математические отношения — это обычно упрощённое моделирование реальности, а не её прообраз. Так что эквивалент истинности и математической красоты работает исключительно в физике, да и то не всегда.
Вот это и было их ошибкой: на основании того, что 1:2, 2:3, 3:4 и т. п. звучат «благозвучно», делается вывод, что благозвучие «аксиоматически» связано с простыми соотношениями частот.

Посмотрите книгу по поводу консонанса натуральных отношений. Я там не понимаю многого, а вам будет понятней.
разумеется, ни один (хороший) скрипач или флейтист не играет в равномерно-темперированном строе

Интересно. При примерно равной возможности выбора выбирается чистый строй. Почему, с вашей точки зрения?
Со временем, однако, становится понятно, что в применении к сложным явлениям простые математические отношения — это обычно упрощённое моделирование реальности, а не её прообраз.

Вы ошибаетесь. Основополагающие неупрощенные E=mc2, формулы СТО, законы Кеплера и остальные ключевые соотношения математики, физики, химии меняли свою форму от сложного к простейшим красивым отношениям, по мере изучения и понимания предмета.
разумеется, ни один (хороший) скрипач или флейтист не играет в равномерно-темперированном строе
Интересно. При примерно равной возможности выбора выбирается чистый строй. Почему, с вашей точки зрения?
А кто сказал, что выбирается чистый строй? Выбирается то, что лучше согласуется с гармонической логикой окружающего. И говорить о «строе» здесь не совсем корректно: большая часть тонов не будет иметь фиксированной частоты (а в масштабе всего произведения — вообще все).

Основополагающие неупрощенные E=mc2, формулы СТО, законы Кеплера и остальные ключевые соотношения математики, физики, химии меняли свою форму от сложного к простейшим красивым отношениям, по мере изучения и понимания предмета.
Физика и химия — возможно. Биология и, тем более, психология и проч. — нет. А музыка как раз из этой области. Человеческое восприятие обычно нечувствительно к мелким различиям (и по отношению к звуковысотности это подтверждается экспериментально). Вот, веткой выше обсуждали чистые и «нечистые» квинты, разница между которыми ощутима вообще только в стерильных условиях. В реальной музыкальной практике — нет.
При равномерно-темперированной — иррационально бесконечное. Звук «грязный».

Не хочу обидеть, но это полная ерунда
Что именно? Что интерференция любых двух нот при равномерно-темперированном строе порождает бесконечное число гармоник?
«интерференция нот» это тоже какая-то ерунда
Интерференция звуковых колебаний любых двух нот при равномерно-темперированном строе порождает бесконечное число гармоник
Это ерунда?
Да, попробую объяснить. Интерференция волн — это физическое явление, о нем можно говорить когда речь идет о каких-то конкретных колебаниях в конкретных физических условиях. Нота — это колебание определенной частоты, достаточно и разумно использовать синус, теоретизируя о частотах нот, не привлекая сюда интерференцию. 2 любые ноты одновременно — это ровно 2 гармоники и это не зависит от темперации строя
Вероятно, автор имеет в виду комбинационные тоны и порождаемые ими биения. Впрочем, их хорошо слышно только тогда, когда один и тот же интервал тянется практически без изменений — например, когда настраиваешь скрипку. По исчезновению биений, кстати, очень удобно определять момент, когда можно больше не крутить колки. На гитаре это тоже работает, особенно с перегрузом, который многократно усиливает нелинейность.
Все же теория звука в отрыве от практического использования этого звука — печальная картина. Те же идеи Пифагора имели не только теоретическую и философскую ценность, но и могли решить существенную проблему его времени — отсутствие стандартов настройки лир. И чем сложнее конструкция муз. инструмента, тем большему влиянию подвергается струна и производимые ею колебания. Что приводит нас, например, к фортепиано.

Слабые биения, создаваемые взаимодействующими друг с другом частичными тонами одной струны, являются естественными для звучания этого инструмента.
Если же мы берем несколько звучащих одновременно струн, что естественно при игре на том же фортепиано, в зависимости от состояния инструмента мы получаем широких диапазон возможностей от типично-узнаваемого звука фортепиано до «грязного».
А я согласен с каждым вашим словом и ничем не противоречу вам
Мне одному непонятно, зачем копипастить на хабр главу из (русской, непереводной) книги тридцатилетней давности?

К содержанию также есть претензии: возможно, в соседних главах материал и приводится к какому-то законченной стройной системе, но в том, что есть всё свалено в кучу — и невнятица про ладовый строй и про хорошо темперированный клавир, что вряд ли полезно человеку, незнакомому с темой, но представляется знакомым и очевидным знакомым с материалом.
Я не понимаю полностью свыше 95% статей на Хабре, но не предъявляю авторам претензий в связи с тем, что их материалы «вряд ли полезны человеку, незнакомому с темой».

Объясните, пожалуйста, почему эта же статья, но как перевод с не русского языка на Хабре допустима, а как копипаста с раритетной книги, которую рецензировали в институтах АН СССР — нет? Какие причины (правила Хабра, бо́льшая актуальность, бо́льшая полезность, необходимость трудозатрат на перевод, другое). Просто есть еще пара интересных тем в книге, которые я бы хотел обнародовать, и теперь в сомнении.
Мне кажется, что имеет смысл. Но при этом также имеет смысл снабжать публикацию более или менее развёрнутым комментарием (например, с кратким пересказом концепции). Ну и было бы приятнее, если бы формулы были оформлены не картинками, а формулами.
Честно говоря, я считаю конкретно эту книгу шедевром советской научной школы. И, соответственно, вставление любого своего комментария — кощунством.
Язык автора не требует переработки ни для читателя-школьника, ни для кандидата наук.

Очень крутая статья, спасибо за работу.


Если вспомнить, что сейчас господствуют только два лада — мажор и минор, то остается только удивляться, насколько утонченным было античное музыкальное сознание.

На самом деле даже в современной попсе частенько встречаются нестандартные лады, просто их сложно отличить от мажора и минора, если специально не вслушиваться. Например, заглавная тема для Back To The Future написана в лидийском ладу. Вот примеры:




— UPD


Извините, видео не скрывается под спойлеры

Если вспомнить, что сейчас господствуют только два лада — мажор и минор, то остается только удивляться, насколько утонченным было античное музыкальное сознание


На самом деле уже нет.
Например, в джазе и современной импровизационной музыке (а до этого fusion, prog и т.д.) давно уже активно исследуются как возможности системы мажоро-минора, так и использования различных ладов. Тот же модальный джаз, исследованный вдоль и поперек.
Даже академическая музыка XX века немало экспериментировала с ладовым потенциалом.

Я уж молчу о том, что понятие диссонанса и «шума» за этот век очень переосмыслилось.
Можно далеко так даже не копать, в том же метале нередко используют фригийский, лидийский, уменьшённый лад и некоторые другие. Хоть и эпизодически
не только в металле, вообще везде и в поп музыке в том числе. Статья очень спорная
можно)
Я написала о тех муз. сферах, в которых специализируюсь сама.
Если вспомнить, что сейчас господствуют только два лада — мажор и минор, то остается только удивляться, насколько утонченным было античное музыкальное сознание.


+1 про блюзовый лад. Впрочем, для советской-постсоветской действительности (цитата из книги 1992 г.в.) это было актуально, несмотря на отечественных джазистов :)

Точная математическая модель, на мой взгляд, всегда будет упираться в погрешности в виде особенностей материала, создающего вибрацию, их обертонов (струны, голосовые связки — ) и не идеального восприятия интонирования и зонального восприятия музыки, так что либо прокачивать слух и использовать четверть тона (что в масштабах человечества нереально), либо привычно использовать специфическую «функцию округления» в виде темперации :)))
Точная математическая модель, на мой взгляд, всегда будет упираться в погрешности в виде особенностей материала, создающего вибрацию, их обертонов (струны, голосовые связки...

Точная математическая модель упирается в подобное во всех прикладных науках и областях. И ничего, живут как-то вместе.
Я бы не стал относиться к этому материалу серьёзно. Похоже человек пишет о том, чего не знает
Когда математики рассуждают о чистоте интервалов, они забывают один ключевой момент — что главное при исполнении музыкальный произведений не строй, а — интонирование. И в тех инструментах, которые позволяют интонировать частотной модуляцией — гитара, скрипка — это используется настолько широко, насколько вообще возможно. Игра профессионального музыканта от любителя отличается тем, что он не просто дёргает струну — он контролирует её на протяжении всего времени звучания, и частота её не является константой.

Нужно понимать, что музыка звучит грязно не потому, что строй неправильный, а потому, что музыкант играет грязно. В интернете можно найти много примеров любителей, пытающихся играть в натуральной темперации, как самоцель (типа воссоздают аутентичное звучание) — а звучит это даже не убого, а жалко.

Идеальный строй, кстати, давно известен — 53-ступенная темперация снимает все проблемы с чистотой интервалов. Вот только на практике она никому не интересна — и даже в теории существует лишь несколько переложений примитивных никому не интересных произведений.
Несколько месяцев назад довелось на досуге перечитывать Володина, ту самую книгу, где подробно, со схемами и номиналами, расписано устройство Экводина, секреты которого некоторые люди на форумах почему-то считают утерянными. И до меня, спустя 20 лет любительского музицирования, наконец, дошло.

Человек берёт хроматический инструмент гитару и настраивает её по флажолетам, (а третью струну — например, октавой ниже первой на третьем ладу) в ноль биений. Затем берёт аккорд, и делает вывод. Гитара не строит, гитара плохая, гитару надо подороже, или отстроить у мастера.

Хроматический равномерно темперированный инструмент настраивать по натуральным интервалам без биений, и ожидать от него благозвучного и точного строя? Вот и весь секрет.

Если настраивать хроматический инструмент без тюнера или эталонной гармоники, но по нужному числу биений, (как настройщики фортепиано), а не их отсутствию, гитара часто внезапно становится «дороже» и «мастерски отстроенной».
И да, неблагозвучны не биения и расстройки, которых при настройке многих гармоник и при помощи электронной обработки добиваются намеренно. Неблагозвучны волчьи интервалы, которые равномерная темперация, в допустимом приближении, превращает в живые биения. А неразрешённые интервалы как раз добавляют музыке жизни. Недаром джаз начинается с септаккорда.
Sign up to leave a comment.

Articles