Учёные исследуют Вселенную и видят удивительную структуру. В ней встречаются фантастически сложные объекты и процессы. Каждое событие во Вселенной следует точным законам природы, идеально выражаемым на языке математики. Эти законы кажутся нам точно подстроенными для того, чтобы смогла появиться жизнь, и, в частности, – разумная жизнь. Каковы эти законы природы и как нам их найти?
Вселенная так хорошо структурирована и упорядочена, что мы сравниваем её с самыми сложными и точными изобретениями своего времени. В XVIII и XIX веках Вселенную сравнивали с идеально работающими часами. Философы тогда обсуждали Часовщика. В XX и XXI веке самый сложный объект – компьютер. Вселенную сравнивают с идеально работающим суперкомпьютером. Исследователи задаются вопросом: как этот компьютер запрограммировали?
Как можно объяснить всю эту структуру? Почему законы кажутся идеально настроенными на появление жизни, и почему они выражаются таким точным математическим языком? На самом ли деле Вселенная так структурирована, как кажется?
Один из ответов на эти вопросы – платонизм (или его кузен, реализм). Это вера в то, что законы природы объективны и всегда существовали. Они обладают точной и идеальной формой, существующей в мире Платона. Эти законы идеально работают, и они сформировали Вселенную, которую мы наблюдаем. Они не только существуют в этом мире, но и живут рядом с идеальной математикой. Это должно помочь объяснить, почему законы пишутся на языке математики.
Платонизм оставляет желать лучшего, причём много. Основная проблема платонизма – это метафизика, а не наука. Но даже если мы примем его, всё равно останется множество вопросов. Почему в платоническом мире есть законы, порождающие разумную жизнь во Вселенной, а не какие-то другие? Как вообще появился этот платонический чердак? Почему физическая Вселенная следует эфемерным правилам? Как учёным и математикам получить доступ в сундук Платона с сокровищами в виде точных идеалов?
Мультивселенная – другой ответ, в последнее время ставший весьма модным. Эта теория – попытка объяснить, почему в нашей Вселенной есть законы, дающие жизнь. Верящий в Мультивселенную утверждает, что наша вселенная – лишь одна из многих. У каждой вселенной есть свой набор правил и свои возможные структуры, им соответствующие. Физики, продвигающие теорию мультивселенной, считают, что законы в каждой вселенной складываются случайно. В нашей Вселенной мы видим пригодные для жизни структуры потому, что нам повезло жить в одной из немногих вселенных, в которых есть такие законы. И хотя Мультивселенная объясняет некоторые видимые нами структуры, некоторые вопросы остаются открытыми. Вместо того, чтобы спрашивать, почему у Вселенной есть такие структуры, мы можем спросить, почему у Мультивселенной есть такие структуры. Ещё одна проблема: если Мультивселенная и ответит на некоторые наши вопросы, то кто сказал, что она существует? Поскольку большинство верит, что с другими вселенными у нас нет никакой связи, то вопрос существования Мультивселенной остаётся в области метафизики.
Есть ещё одно, более интересное, объяснение структуры законов природы. Вместо того, чтобы говорить, что Вселенная очень структурирована, скажите, что Вселенная хаотична, и по большей части в ней нет структуры. А причина, по которой мы видим структуры, в том, что учёные работают, как сито; они фокусируются только на тех явлениях, у которых есть структура и которые можно предсказать. Они не рассматривают все явления. Вместо этого они выбирают только те, с которыми могут управиться.
Некоторые люди скажут, что наука изучает все физические явления. Это не так. Кто выиграет следующие выборы президента США и переедет в Белый дом – это физический вопрос, но ни один учёный не станет искать точный ответ на него. Остановит компьютер работу или нет при определённых входных данных – вопрос вроде бы физический, и всё же от Алана Тьюринга мы узнаём, что ответить на него нельзя. Учёные дали классификацию общим текстурам и высотам различных типов облаков, но в целом совсем не интересуются точной формой облака. Хотя его форма – явление физическое, учёные даже не пытаются его изучать. Наука не изучает все явления. Наука изучает предсказуемые физические явления. Это почти тавтология: наука предсказывает предсказуемые явления.
Учёные описали критерий для явлений, которые они решили изучать: он называется симметрией. Симметрия – это свойство, согласно которому, несмотря на изменение чего-то, остаётся какая-то неизменная часть. Когда мы говорим, что у лица есть симметрия, мы имеем в виду, что если отразить левую часть и заменить её правой, оно будет выглядеть так же. Когда физики используют слово «симметрия», они обсуждают наборы физических явлений. У набора явлений есть симметрия, если после некоторого изменения он остаётся таким же. Самый очевидный пример — симметрия местоположения. Это значит, что если провести тот же самый эксперимент в двух разных местах, результаты должны быть одинаковыми. Симметрия времени означает, что результаты экспериментов не должны зависеть от того, когда эксперимент проводился. Есть множество других типов симметрии.
У явлений, избранных учёными для исследований, должно быть множество разных типов симметрий. Когда физик видит много явлений, он сначала должен определить, есть ли у них симметрия. Он проводит эксперименты в разных местах и в разное время. Если он достигает тех же результатов, он затем изучает их в поисках первопричины. Если же эксперименты оказались несимметричными, он их игнорирует.
И хотя такие учёные, как Галилей и Ньютон видели симметрию в физических явлениях, вся мощь симметрии впервые была исследована Альбертом Эйнштейном. Он заявил, что законы физики должны оставаться теми же самыми, даже если экспериментатор двигается со скоростью, близкой к скорости света. Памятуя об этой симметрии, он смог создать законы специальной теории относительности. Эйнштейн первым понял, что симметрия служит определяющей характеристикой физики. У чего есть симметрия, у того будет закон природы. А остальное не принадлежит к науке.
Вскоре после того, как Эйнштейн показал жизненную важность симметрии для науки, Эмми Нётер доказала мощную теорему, определившую связь между симметрией и законами сохранения. Она связана с константами природы, центральной частью современной физики. Опять-таки, при наличии симметрии будут и законы сохранения, и константы. Физик должен быть ситом, и изучать явления, обладающие симметрией, позволяя тем явлениям, что симметрией не обладают, проскальзывать сквозь пальцы.
С этим объяснением существующих во Вселенной структур есть несколько проблем. Например, кажется, что выбираемые нами явления, обладающие законами природы, порождают все остальные явления. У всех законов физики частиц, гравитации и квантовой теории есть симметрии, и все они изучаются физиками. Кажется, что все явления происходят из этих теорий, даже те, что симметрией не обладают. Так что, хотя определение следующего президента США не входит в задачи науки, это явление будет определено социологией, которая определена психологией, которая определена нейробиологией, которая зависит от химии, которая зависит от физики частиц и квантовой механики. Определить победителя выборов слишком сложно для учёных, но результаты выборов зависят от законов физики, являющихся частью науки.
Несмотря на то, что у нас не получилось объяснить структуру законов природы, мы считаем, что это – наилучший кандидат на решение. Это одно из тех решений, что не включают каких бы то ни было метафизических принципов или существования множества невидимых вселенных. Нам не нужно выглядывать за пределы Вселенной в поисках причины структуры, находящейся внутри её. Нам нужно только взглянуть на то, как мы рассматриваем явления.
Перед тем, как мы продолжим, необходимо указать, что у нашего решения есть свойство, общее с решением, связанным с Мультивселенной. Мы постулировали, что по большей части Вселенная хаотична и в ней нет особой структуры. Просто мы фокусируемся на небольшом количестве существующих структур. Точно так же тот, кто верит в Мультивселенную, считает, что у большей её части не достаёт структуры для формирования разумной жизни. Только в малом количестве избранных вселенных можно найти сложные структуры. И мы, население этой сложной Вселенной, фокусируемся на этих редких структурах. Оба решения заключаются в концентрации на небольшом объёме структуры, являющейся частью огромного хаотичного целого.
Иерархия числовых систем
Идея о том, что мы видим структуру только потому, что избираем подмножество явлений, нова и сложна для восприятия. В математике есть аналогичная ситуация, которую гораздо проще понять. Мы сконцентрируемся на одном важном примере, в котором чётко виден процесс селекции. Сначала нам нужно совершить небольшую экскурсию по нескольким числовым системам и их свойствам.
Рассмотрим вещественные числа. В одном из старших классов школы учитель рисует линию вещественных чисел на доске и утверждает, что на ней есть все числа, которые вам когда-либо понадобятся. Если взять два вещественных числа, мы сможем их складывать, вычитать, перемножать и делить. Из них состоит числовая система, используемая во всех аспектах науки. У вещественных чисел есть одно важное свойство: они упорядочены. из двух любых разных вещественных чисел одно будет больше другого. Представьте числовую линию: из двух разных точек одна будет правее другой. Это свойство настолько очевидно, что о нём редко говорят.
Эмми Нётер
И хотя вещественные числа кажутся законченной картиной, история на них не заканчивается. Уже в XVI столетии математики начали поиски более сложных числовых систем. Они начали работать с «мнимым» числом i, свойство которого такого, что его квадрат равен -1. Это явно контрастирует с любым вещественным числом, чей квадрат всегда положителен. Мнимое число они определили как произведение вещественного числа и i. Математики определили комплексное число как сумму вещественного и мнимого. Если r1 и r2 — вещественные числа, тогда r1+r2i – комплексное число. Поскольку комплексное число состоит из двух вещественных, мы рисуем их на двумерной плоскости. Прямая вещественных чисел находится на комплексной плоскости. Это соответствует тому факту, что каждое вещественное число r1 можно рассматривать как комплексное r1+0i (само число плюс нулевое комплексное слагаемое).
Мы знаем, как складывать, вычитать, перемножать и делить комплексные числа. Однако у них есть одно необычное свойство. В отличие от вещественных, комплексные числа не упорядочены. Какое из двух комплексных чисел, допустим 3 + 7.2i и 6 — 4i, больше, а какое – меньше? Очевидного ответа нет. В принципе, конечно, комплексные числа можно упорядочить, но это упорядочивание не будет соответствовать их перемножению). То, что комплексные числа не упорядочены, означает, что мы теряем структуру при переходе от вещественных к комплексным числам.
Но история не заканчивается на комплексных числах. Точно так же, как из пар вещественных можно составить комплексные числа, из пар комплексных можно составить кватернионы. Пусть c1 = r1 + r2i и c2 = r3 + r4i будут комплексными числами. Тогда можно определить кватернион как q = c1 + c2j, где j – особое число. Оказывается, что любой кватернион можно записать в виде
r1 + r2i + r3j + r4k
где i, j и k – особые числа, схожие с комплексными (ijk = -1 = i2 = j2 = k2). Так что если комплексные числа состоят из двух вещественных, то кватернионы состоят из четырёх вещественных чисел. Каждое комплексное число r1 + r2i можно рассматривать как особый тип кватерниона: r1+ r2i + 0j + 0k. Мы можем представить себе кватернионы как четырёхмерное пространство, двумерным подмножеством которого являются комплексные числа. Нам, людям, довольно сложно визуализировать пространства высокого порядка.
Кватернионы – полноправная числовая система. Их легко можно складывать, вычитать, умножать и делить. Как и комплексные числа, их нельзя упорядочить. И у них ещё меньше структуры, чем у комплексных чисел. Если умножение комплексных чисел коммутативно, то есть, для любых комплексных чисел c1 и c2 верно c1c2 = c2c1, это верно не для всех кватернионов. Это значит, что существуют кватернионы q1 и q2 такие, что q1q2 не равно q2q1.
Этот процесс удвоения числовой системы при помощи нового особого числа называется процедурой Кэли-Диксона в честь математиков Артура Кэли и Леонарда Диксона. Для числовой системы определённого типа можно построить другую числовую систему с размерностью вдвое больше изначальной. Новая система получается хуже структурированной (у неё есть меньше аксиом), чем изначальная.
Применив процедуру Кэли-Диксона к кватернионам, мы получим числовую систему октонионов. Это восьмимерная числовая система. Это значит, что каждый из окнтоионов можно записать через восемь вещественных чисел, как
r1+ r2i + r3j + r4k +r5l + r6m + r7n + r8p
Хотя эти действия довольно сложны, мы знаем, как складывать, вычитать, умножать и делить октонионы. Каждый кватернион можно записать как особый тип октониона, у которого последние четыре коэффициента равны нулю.
Как и кватернионы, октонионы ни упорядочены, ни коммутативны. Однако октонионы ещё и не ассоциативны. Все предыдущие рассмотренные числовые системы были ассоциативными. Это значит, что для любых трёх элементов, a, b и c, два способа их перемножения, a(bc) и (ab)c, идентичны. Однако для октонионов это не так. Существуют октонионы o1, o2 и o3 такие, что o1(o2o3) ≠ (o1o2)o3.
Мы можем продолжить это удвоение и получить ещё большую, 16-размерную числовую систему, под названием седенионы. Для его описания потребуется 16 вещественных числ. Октонионы – это особый тип седенионов, у которых последние восемь коэффициентов равны нулю. Но исследователи чураются седенионов, поскольку у них пропадает важное свойство. Хотя их можно складывать, вычитать и умножать, не существует способа их поделить. Большинство физиков считают, что это находится за пределами «честной» математики. Даже математикам трудно управляться с ними. Можно составить и 32-мерную числовую систему, и 64-мерную, и так далее. Но о них обычно не говорят, поскольку пока что у них очень мало применений. Мы сконцентрируемся на октонионах. Подытожить все числовые системы можно при помощи этой диаграммы Венна:
Обсудим применимость этих числовых систем. Вещественные числа используются во всех областях физики. Все величины, измерения, длины физических объектов или процессов даются в виде вещественных чисел. Хотя комплексные числа были сформулированы математиками, чтобы помочь решать уравнения (i – это решение уравнения x2 = -1), физики начали использовать комплексные числа для обсуждения волн в середине XIX века. В XX веке комплексные числа стали основой для исследований квантовой механики. Сейчас комплексные числа играют важную роль в различных областях физики. Кватернионы появляются в физике, но не играют важные роли. Октонионы, седенионы и ещё большие числовые системы редко появляются в физической литературе.
Обнаруживаемые нами законы математики
Обычный подход к рассмотрению этих числовых систем состоит в том, что вещественные числа фундаментальны, а комплексные, кватернионы и октонионы – это странные более крупные множества, которые помогают математикам и физикам чем-то заняться. Более крупные числовые системы считаются чем-то неважным и неинтересным.
Давайте перевернём этот подход с ног на голову. Вместо того, чтобы считать вещественные числа центральными, а октонионы – странной более крупной числовой системой, представим, что октонионы – фундаментальны, а другие числовые системы являются просто подмножествами октонионов. Единственная существующая числовая система – это октонионы. Перефразируя Леопольда Кронекера: «Бог создал октонионы, всё остальное – дело рук человека» [Кронекер говорил: «Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека» / прим. перев.]. В октонионах содержатся все нужные нам числа. (При этом, как было показано ранее, тот же трюк мы можем проделать с седенионами и даже с 64-размерными числовыми системами. Но донесём наши идеи при помощи октонионов).
Давайте посмотрим, как можно вывести все свойства числовой системы, с которой мы знакомы. Хотя умножение октонионов не ассоциативно, если вам нужно ассоциативное умножение, можно взять особое подмножество октонионов (мы используем слово «подмножество», но нам необходим особый вид подмножества, пригодный для операций в числовой системе. Такие подмножества называются подгруппами, подполями или «поднормированными алгебрами с делением»). Так что, если выбрать подмножество всех октонионов вида
r1+ r2i + r3j + r4k + 0l + 0m + 0n + 0p
тогда умножение будет ассоциативным (как у кватернионов). Если пойти дальше и выбрать октонионы вида
r1+ r2i + 0j + 0k + 0l + 0m + 0n + 0p
тогда умножение будет коммутативным (как у комплексных чисел). Если и дальше выбрать подмножество октонионов вида
r1 + 0i + 0j + 0k + 0l + 0m + 0n + 0p
тогда из них получится упорядоченная числовая система. Все нужные аксиомы «сидят внутри» октонионов.
В этом нет ничего странного. Если у нас есть структура, мы можем сконцентрироваться на подмножестве особых элементов, удовлетворяющих определённым требованиям. Возьмём любую группу. Мы можем пройтись по всем её элементам и выбрать такие X, что для всех элементов Y будет верно XY = YX. Это подмножество – коммутативная (абелева) группа. В любой группе есть подмножество, составляющее коммутативную группу. Мы просто выбираем те части, что удовлетворяют аксиому, и игнорируем (выносим за скобки) те, что ей не удовлетворяют. Наша мысль состоит в том, что если у системы есть определённая структура, то особые подмножества системы будут удовлетворять большему количеству аксиом, чем изначальная система.
Это похоже на то, что мы делаем в физике. Мы не изучаем все явления. Мы выбираем те из них, что удовлетворяют требованиям симметрии и предсказуемости. В математике мы описываем подмножества при помощи аксиомы. В физике мы описываем выбранное подмножество явлений законом природы.
Математика для подмножества, выбранного так, чтобы удовлетворять аксиоме, проще, чем математика всего множества. Это оттого, что математики работают с аксиомами. Они доказывают теоремы и составляют модели при помощи аксиом. Когда таких аксиом нет, математика становится сложнее или вообще невозможной.
По аналогии, подмножество явлений проще объяснить законом природы, записанным языком математики. И наоборот, когда мы наблюдаем за более крупным множеством явлений, сложнее найти закон природы, и эта математика становится сложнее или вообще невозможной.
Работая в тандеме и продвигаясь вперёд
Между физикой и математикой есть важная аналогия. В обоих областях, если мы не изучаем систему в целом, но смотрим на особые подмножества, мы видим больше структуры. В физике мы берём определённое явление (обладающее симметрией), и игнорируем остальные. В математике мы рассматриваем определённые подмножества структур и игнорируем остальные. Две этих операции выноса за скобки работают сообща.
Задача физики – сформулировать функцию из набора наблюдаемых физических явлений, приводящую к математической структуре:
наблюдаемые физические явления → математическая структура
То есть, обозреваемому миру мы должны дать математическую структуру. По мере продвижения физики и того, как мы пытаемся понять всё больше наблюдаемых физических явлений, нам требуются всё большие классы математики. В понятиях этой функции, если мы хотим увеличить ввод функции, нам нужно увеличить и её вывод.
Существует множество примеров расширения физики и математики.
Когда физики начали работать с квантовой механикой, то поняли, что упорядоченные вещественные числа слишком сильно их ограничивают. Им потребовалась числовая система с меньшим количеством аксиом. Они обнаружили комплексные числа.
Когда Альберт Эйнштейн хотел описать ОТО, он понял, что математическая структура евклидова пространства с её аксиомой о плоскости (пятый постулат Евклида) была слишком ограничивающей. Ему нужно было искривлённое, неевклидово пространство, для описания пространства-времени в ОТО.
В квантовой механике известно, что в некоторых системах измерение сначала X, а затем Y, приведёт к результатам, отличным от полученных в случае, когда мы сначала измеряем Y, а затем X. Для математического описания этого необходимо выйти из уютного мира коммутативности. Им требуется более общий класс структур, не подразумевающих коммутативность.
Когда Больцман и Гиббс заговорили о статистической механике, они поняли, что получаемые ими законы уже не были детерминистскими. Результаты экспериментов уже не делились на произошло (p(X) = 1) или не произошло (p(X) = 0). Вместо этого к статистической механике требуется теория вероятностей. Шансы на определённый результат эксперимента – это вероятность, а p(X) — элемент бесконечного множества [0, 1], а не из ограниченного конечного множества {0, 1}.
Когда учёные заговорили о логике квантовых событий, они поняли, что обычная, дистрибутивная логика, слишком ограничивающая. Им необходимо было сформировать более общий класс логики, в котором аксиома дистрибутивности уже не обязательно выполнялась. Теперь это называется квантовой логикой.
Поль Дирак понял это ослабление аксиом ещё 85 лет назад, когда писал следующее:
Непрерывный прогресс физики требует для теоретических формулировок такой математики, которая постоянно продолжает усложняться. Это естественно и ожидаемо. А вот чего учёные прошлого века не ожидали, так это определённой формы, которую примет направление усложнения математики, а именно, ожидалось, что математика будет становиться всё более сложной, но будет основываться на постоянном базисе из аксиом и определений. На самом деле современное развитие физики требует математики, постоянно сдвигающей свои основы и становящейся более абстрактной. Неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, когда-то считавшиеся выдумкой и развлечением мыслителей, теперь оказываются необходимыми для описания общих фактов физического мира. Кажется вероятным, что этот процесс увеличения абстракции продолжится в будущем, и развитие физики будет связано с постоянным изменением и обобщением аксиом, лежащих в основе математики, а не с логическим развитием любой из математических схем, находящихся на неподвижной основе [Dirac, P.A.M. Quantised singularities in the electromagnetic field. Proceedings of the Royal Society 133, 60-72, (1931).].
С развитием физики и открытием всё большего количества явлений, требуются всё более крупные классы математических структур со всё меньшим количеством аксиом с «увеличивающейся абстракцией» и «обобщением аксиом». Без сомнения, если бы Дирак был жив, он бы писал о приходе октонионов или даже седенионов в мир необходимых числовых систем.
Для описания большего количества явлений нам нужны всё большие классы математических структур и всё меньше аксиом. Каково же логическое заключение этой тенденции? Как далеко это может зайти? Физики хотят описывать всё больше явлений в нашей Вселенной. Допустим, что мы хотим описать все явления Вселенной. Какая математика нам для этого понадобится? Сколько аксиом будет нужно математической структуре, описывающей все явления? Конечно, это сложно предсказать, но ещё сложнее не порассуждать на эту тему. Одно из возможных заключений – если мы посмотрим на всю Вселенную разом, и не будем выносить за скобки никакие подмножества явлений, то нам нужна будет математика вообще без всяких аксиом. То есть, в целом Вселенная свободна от структуры и для её описания аксиомы не нужны. Полное беззаконие! Математика без структуры – это просто множества. Это может, наконец, устранить всю метафизику, связанную с законами природы и математическими структурами. Только тот способ, которым мы изучаем Вселенную, даёт нам иллюзию наличия структуры.
С таким взглядом на физику мы приходим к ещё более сложному вопросу. Таковы будущие проекты науки. Если видимая нами структура иллюзорна и происходит из нашего способа изучения определённых явлений, почему мы её видим? Вместо того, чтобы изучать законы природы, формулируемые учёными, нам нужно изучить учёных и то, как они выбирают законы природы, подмножества явлений и всё, что с ними связано. Какое свойство человека делает его таким хорошим ситом? Вместо того, чтобы изучать Вселенную, нам нужно изучить тот способ, каким мы её изучаем.
Нозон С. Яновский – доктор математики из аспирантуры Городского университета Нью-Йорка. Профессор информатики в Бруклинском колледже Городского университета Нью-Йорка. Кроме научных работ, он был соавтором книги «Квантовые вычисления для специалистов по информатике» и написал «Внешние пределы разумного: чего наука, математика и логика не могут нам сообщить».
