Comments 39
Картинки у вас красивые, а математика — странная. Вот этот тезис выглядит особенно необычно.
Что надо сделать, чтобы попасть в точку в стороне от основного направления? Надо повернуть.
Я склонен считать, что если у нас вообще существуют точки "в стороне от основного направления", то мы имеем дело не с прямой, а с плоскостью. При этом действуют обычные правила сложения векторов.
В голову приходят только логические операции (И, Или, Исключающее Или и т.д.). Можно сказать что это сложение и умножение в замкнутом конечном множестве чисел {0,1}. Но это все знают… а есть что-то такое экзотическое, чего не знает почти никто?
Что вы спрашиваете называется вроде как базисом системы счисления — т.е. Минимальный набор операций, через которые можно выразить все остальные. Для двоичной системы счисления это ИЛИ-не либо И-НЕ на выбор (и сдвиг, но почему-то в теории его не включают)ъ насколько я помню из университета, что-то подобное есть для десятичной системы счисления, даже теорема для этого есть, но найти так и не удалось. Впрочем, мне это всегда казалось лукавством, покуда я не представляю как через сумму и перемножение определить, например, предел.
Как выразить через такие векторы число пи? Никак. Точное выражение через единицы измерения означает точную десятичную запись.
Можно взять и начать считать пары палочек — получатся рациональные дроби. Пара (1,3) будет означать 1/3. Правда рассматривать нужно будет не сами пары, а классы эквивалентностей на этих парах, так чтобы (1,3) попадало в тот же класс что и (2,6). Далее дедекиндовыми сечениями на рациональных дробях получаем вещественные числа. Далее вводим пары вещественных чисел и получаем комплексные числа, с особым правилом умножения и получаем комплексные. А вот следующее расширение множества чисел уже придумать нельзя.
Ремарка — прежде чем вводить понятие пар и классов эквивалентностей нужно договориться о том, что такое множество. Это оказывается не так просто, можно гуглить про ZFC.
Вопрос на засыпку — чем отличается вектор [1,2] от 1 + 2*i? Ответ — комплексные числа можно умножать и получать комплексные числа. Вектора, в общем случае, умножать нельзя. Для размерности векторов 3 придумали полезную операцию «умножения», но это частный случай и не умножение, потому что некоммутативное.
Логические операции вместе с множеством из двух элементов (например {0, 1}, {да, нет}, {красное, зеленое}) образуют алгебраическое поле, так же как и вещественные и комплексные числа и много чего еще.
Любое множество, которое мы можем оснастить структурой алгебраического поля можно назвать числами (скалярами, наверное, правильнее говорить). Например поле можно сделать из матриц 2x2, и даже найти изоморфизм между такими матрицами и комплексными числами.
Ограниченные вещественные функции на интервале тоже можно рассматривать как числа.
Кольцо вычетов по простому модулю это тоже поле. Например множества — {1,2,3} или {1,2,3,4,5} но не {1,2,3,4}
А есть еще алгебры Ли и еще миллион всяких других алгебр, которые реально используются в расчетах и инженерии. Короче — учить надо современную алгебру и теорию чисел, палочки это хорошо, но идет немного в сторону от основной дороги математики.
базовые арифметические операции — сложение, умножение — насколько они фундаментальны?Они, вообще, не фундаментальны. В аксиоматике Пеано сложение и умножение определяются по индукции через операцию инкремента.
x - y = x + (-y)
Так что, если инкремент определяется как (x (+1)), то декремент должен определяться как (x (-1)). «Обратность» определяется для изменяющего аргумента, а не для результата.
А определение через предыдущее не позволит ввести отрицательные числа, так как придется начинать не от нуля, а от минус бесконечности.
Если быть точным, вычитание это не действие обратное сложению, это сложение с обратным элементом.
Чем именно вам не понравилось определение вычитания как действия, обратного сложению?
Тем, что несимметрично определению сложения
Интересно. А зачем ему быть симметричным? И тем более, как ни определяй — если получается операция с одинаковыми свойствами то это одно и то же. Определения можно произвольно выбирать (из нескольких эквивалентных) «по вкусу», то есть по их удобству в конкретном случае.
тем, что не позволяет попасть в -1 из точки 0.
Если мы рассмотрим определение чисел, то вкратце оно обычно делается так:
— определяются натуральные числа через 0 и функцию inc(x)
— определяется сложение x+y через inc(x)
— определяется вычитание x-y как операция, обратная сложению
— замечается, что не для всех x и y сущесвует элемент x-y
— к натуральным числам добавляются все такие элементы (и правильно определяется операция равенства) — полученное множество (минимальное по включению, содержащее натуральные числа и замкнутое относительно вычитания) называется целыми числами
— ну и далее идут рациональные (замкнутое относительно деления), действительные (замкнутое относительно взятия предела), комплексные (замкнутые относительно нахождения корней полинома).
В такой последовательности, когда мы определяем вычитание, у нас пока нет отрицательных чисел. Понятно, что можно делать и по-другому, но обычно определения вводятся примерно так.
Определения можно произвольно выбирать (из нескольких эквивалентных)
Так не эквивалентно же. Введение +1 позволяет двигаться от нуля в плюс бесконечность на любую величину. Введение -1 позволяет двигаться в минус бесконечность, а определение его как chsign(+1) превращает его из аксиоматического понятия в производное. Меньше сущностей, больше возможностей.
А введение понятия "обратное действие" или "предыдущее число" не позволяет.
к натуральным числам добавляются все такие элементы
Этот момент я не понял. Ну добавили мы их, а что дальше, как из -10 вычесть 1? Как получить предыдущее число для -10?
замечается, что не для всех x и y существует элемент x-y
но обычно определения вводятся примерно так.
Но зачем такие сложности, если x-y существует для всех? Этот вопрос появляется уже когда мы досчитали до 2 — что будет, если из 1 вычесть 2. С введением -1 все гораздо проще же.
Можно рассмотреть на примере дат. Складывать 2 даты довольно бессмысленно, складывается дата и временной интервал. С введением отрицательного интервала можно получить вчерашнюю дату просто добавив его к сегодняшней. А с предыдущим значением придется от начала времен отсчитывать.
Этот момент я не понял. Ну добавили мы их, а что дальше, как из -10 вычесть 1? Как получить предыдущее число для -10?
-10 - 1 по определению вычитания и отрицательных чисел раскрывается как 0 - 10 - 1. Соответственно, упрощаем (соответствующие свойства операций легко доказываются) и получаем 0 - 10 - 1 = 0 - (10 + 1) = 0 - 11 = -11. Замечу, что например «10» это просто удобная запись для inc(inc(...(inc(0)...), и так же -10 это просто удобная запись для 0 - 10.Почитайте всё-таки, как обычно вводятся отрицательные числа (как классы эквивалентности пар (x, y)) и почему. Мне кажется, это должно покрыть все указанные вопросы, включая
Так не эквивалентно же.
и
x-y существует для всех
0 - 11 = -11Так а как вы выполните вычитание 11? Это именно оно выражается через -10 - 1.
Почитайте всё-таки, как обычно вводятся отрицательные числа
Так я читал. Я же говорю, вычитание через пары выглядит несимметрично сложению, для которого пары не используются.
Получается, для вычитания чисел надо вводить специальные правила, типа если одно больше другого, то возвращаем число со знаком плюс, иначе минус.
А как в таком варианте ввести комплексные числа? Добавить еще один вид чисел ((sign, re), (sign, im)), определить новые правила сложения/вычитания? Тогда i это будет направление, и корень из i непонятно как считать.
А в другом варианте у нас всего 3 примитива — 0, inc(x), turn(x), из которых выражается всё. x = (r, a), i=(1, 1), sqrt(i) = (1, 0.5), chsign(x) = turn(turn(x)), dec(x) = add(x, chsign(inc(0))), add(x, y) = ...
У меня собственно вопрос, не как оно сделано, а почему именно так, по-другому же удобнее.
Так а как вы выполните вычитание 11? Это именно оно выражается через -10 — 1.
"-11" — это по определению просто более удобная запись для «0 — 11», я же явно написал в прошлом сообщении.
Так я читал. Я же говорю, вычитание через пары выглядит несимметрично сложению, для которого пары не используются.
Всё равно так себе довод. Несимметричностей среди простых операций много — хоть бы взять то, что любое число на любое можно умножить, но не любое на любое поделить. Или например x^2 можно легко вычислить для любого x, а вот sqrt(x) намного более хитрая функция, причём многозначная. Кстати многозначность у вас как-то заметается под ковёр.
Есть ещё одна причина, почему ничего плохого в несимметричности определения операций я как-то не вижу. Ведь если начинать с натуральных чисел, как наиболее естественных, все следующие шаги (целый, рациональные, действительные, комплексные) являются пополнением предыдущего множества относительно некоторой математической операции. Кстати, а сами натуральные числа в принципе можно рассматривать как пополнение множества {0} относительно операции inc(x). И вас же не смущает, что для деления (рациональные числа) тоже вводятся пары и классы эквивалентности на них?
Кстати многозначность у вас как-то заметается под ковёр.
Почему, это прямое следствие поворотов. 4 полных поворота возвращают прежнее направление.
sqrt(1) = sqrt(i^4) | sqrt(i^8) = i^2 | i^4 = -1 | 1
И вас же не смущает, что для деления тоже вводятся пары
Деление тоже должно быть симметрично умножению. Это точно так же связано с движением в сторону +1 и -1, просто это функции более высокого порядка, движение осуществляется по логарифмической спирали. Как пример с 1/2 и 2 в статье.
i^i (i в степени i)
Да, эта задача имеет решение, хотя сходу часто люди делают большие глаза.
i ^ i = (e^(i * pi/2))^i = e^(-pi/2),
если не брать в расчёт, что решений не одно
кстати, (i^i)^i = -i
Я сначала сомневался, стоит ли писать. Но недавно прочитал в статье Ричард Хэмминг: «Есть мысли, о которых вы не можете думать» такую фразу:
Важно заметить, что хоть я и указал, что мы, может быть, никогда не сможем понять КМ в классическом смысле «понять», мы тем не менее создали формальную математическую структуру, которую мы можем очень эффективно использовать.… Но удивительно, как вы привыкаете к КМ после того, как вы работаете с ней достаточно долго. Это почти та же история, как обращаться с комплексными числами — все слова преподавателей о комплексной арифметике… мало что значила для вас; ваша вера в «реальность» комплексных чисел исходила из их длительного использования и видения, что они часто дают разумные, полезные предсказания.
Вот и решил показать, что это не просто вера в реальность формальной структуры, а всё логично вытекает одно из другого и это можно понять.
Немного об арифметике