О форме вращающейся жидкости

Кому-то в Новый Год было очень скучно)

> Хотелось бы обратить внимание на то, что форма поверхности зависит от частоты вращения, ускорения свободного падения, геометрических параметров сосуда, первоначального объема жидкости, но не зависит от плотности жидкости.

Странно. Т.е. если мы возьмем, скажем, ртуть и этанол, поместим в одинаковые сосуды и будем вращать с одной скоростью, то форма жидкости будет одинаковая?

Зачем указан хаб «Программирование»? Где хоть строчка кода?

Я вот, честное слово, в закорючках не силен.
Но с детства знал, что жидкость принимает форму параболы.
Это что, неверно?

В заключении можно было бы ещё написать, что такой способ формирования параболической поверхности уже давно используется для получения зеркал для телескопа. См. например статью в Вики или страницу Mirror Lab Аризонского университета.

Не будем учитывать вязкость и поверхностное натяжение.

1. Почему? Где хоть какое-то допущение, что данные характеристики жидкости не влияют на модель физического явления?
2. Скажите, если у вас не учитывается вязкость, каким образом вращение передаётся от стенок сосуда внутрь жидкости?

P.S. Я ещё прикиньте, как ваши рассуждения лягут на неньютоновскую жидкость. Там тоже будет много открытий, поскольку угловая скорость, как функция радиуса, будет нелинейной.

Если не учитывать трение, то это тривиальная задача. На самом деле, в реальном стакане с чаем трение не учитывать нельзя. Я когда-то решал эту задачу с помощью уравнений Навье-Стокса. Помню, что решение выражалось суммой функций Бесселя (или суммой квадратов функций Бесселя, не помню уже).
Поэтому там не парабола, особенно около стенки стакана.

А вот продолжение: physiclib.ru/books/item/f00/s00/z0000062/st006.shtml

Позвольте вмешаться.
Здесь мы имеем как раз очень хороший пример когда задача решается без анализа физических допущений. В педагогическом плане такие задачи здорово дезориентируют как школьников так и студентов.
«жидкость вращается вокруг оси симметрии» — это как это она делает? Видимо как квазитвёрдое тело которое может деформироваться. Т.е. по сути это не жидкость, а… скорее что-то сыпучее или какое-то желе.
Так, ну а что же происходит в жидкости?
1. Жидкость тормозится у стенок, и мы имеем т.н. «дифференциальное вращение» — когда скорость непостоянна по радиусу.
2. Вязкость переносит взаимодействие, она важна.
3. Начиная с какой-то частоты вращения жидкость теряет устойчивость и в ней образуются вихри. Много и сложные. Нужно учитывать нелинейную часть уравнения Навье-Стокса.
4. Поверхностное натяжение стремится как раз не дать жидкости изменить форму.
Итак — как же решать-то?
Решать трудно.
Форма поверхности зависит от внутренней гидродинамики, а чтобы решать дифференциальные уравнения — систему Навье-Стокса надо задаться расчетной областью — т.е. той самой формой.
Например делают так — решают ДВУФАЗНОЕ уравнение и в воде и в воздухе, а между водой и воздухом у нас межфазная поверхность — и ячейки расчетной сетки частично заполнены водой, частично воздухом. И при этом есть еще уравнение для доли фазы в ячейке. Метод называется Volume Of Fluid.
Есть и другие методы — приближение «мелкой воды» например.
Метод который изложил автор тоже имеет право на жизнь — вопрос насколько можно верить получившемуся результату? Скорее всего можно — вопрос при каких условиях, в каких диапазонах значений параметров, откуда эти параметры взялись, и т.п…
Это традиционные проблемы которые есть у школьной/младшекурсной физики. Преподаватели часто считают, что а) модели очевидны, б) сами не пробовали пользоваться результатами. В результате задачи по физике превращаются в задачи, в лучшем случае, по математике, в худшем — в головоломки с неполными данными.

Еще раз — кривая не параболоид. Параболоидом можно интерполировать только центр стакана, поскольку он далеко от стенок. Граничными условиями при решении уравнений Навье-Стокса является нулевое значение скорости у стенок стакана. Провелите простейший эксперимент — раскрутите чай ложкой, а затем уберите ее. Очень скоро увидите, что это далеко не параболоид. Кстати, в данном случае уравнения не такие супер сложные если выбрать цилиндрические координаты.

Забавно было бы автору сравнить свою статью с соответствующей главой «Занимательной физики» Перельмана.

Эти формулы можно вывести и проще
составив каноническое распределение от высоты и про интегрировав
и следует учесть еще ланиарность течения и поверхностное натяжение

Алаверды с экспериментом — www.youtube.com/watch?v=pL6tF1N2vr4
Ответ —

Замечательная статья. Я был очарован вашими расчётами, логикой, последовательностью рассуждения. С дикой завистью прочел публикацию, хотя не понял «закорючки». ) Как смотреть на мир через формулы? Что прочесть? Хочу также. Спасибо.