6 October 2016

Размышления об алгоритмах и методах. Представление полного алгоритма порождения сочетаний + размещений с повторением

Algorithms
Recovery mode
Эта статья содержит ряд наблюдений, касающихся проблем алгоритмизации, минимизации ошибок, понимания и изучения чужого кода, а также рассуждения о полном представлении алгоритмов и небольшой эксперимент.

Что я понимаю под полным описанием алгоритма и зачем это может быть нужно?


Без открытия Америки не обойтись: полный алгоритм — это та последовательность действий над объектами, которая осуществляется ручкой на бумаге. А полное описание — это каждый шаг, описанный на естественном языке, возможно, с применением дополнительных математических обозначений, но только в качестве вспомогательных. Таким образом, полное описание — это не формула и даже еще не псевдокод и, тем более, не блок-схема. Из этого очевидного тезиса следует такая же очень простая, но важная вещь — понимание реализации даже достаточно простого алгоритма может быть затруднено его сокращением или краткостью формулы. В связи с этим мне очень понравилось мнение Херба Уилфа о том, что «формула — на самом деле алгоритм», перепечатанное в данной статье Игорем Паком. Возможно, представление одних и тех же алгоритмов в виде разных формул и наблюдение за собственным восприятием этих представлений может пролить свет на то, почему одни алгоритмы мы понимаем лучше, а другие хуже.

Я несколько раз замечал, как часто алгоритмы переписываются с языка на язык чисто механически. Вероятно, это может быть хорошо в коммерческой разработке, когда нет особенно времени вникать в каждый шаг, а лишь требуется быстро получить результат на нужном язык, но для учебных целей такой метод не очень подходит.

Понаблюдав за собой, я обратил внимание, что бывают ситуации, когда смотришь на чужой код и вроде бы понимаешь алгоритм, знаешь язык, на котором он реализован, но не видишь всех шагов. Автор продумал для себя алгоритм, максимально сократил и таким образом фактически скрыл пошаговую реализацию для других программистов, внимание которых зачастую больше обращено на средства реализации, а все усилия направлены на поиск аналогов этих средств, необходимых для перекодирования на известный им язык.

Таким образом, реализация и краткое формальное описание алгоритма порой выглядит как шифр, сходу понятный только автору. Что касается описания алгоритмов на естественном языке, то, наверное, разгадка сложности порой кроется в самом языке автора, так как при описании каждый опирается на свое знание и понимание терминологии и использует тот набор и сочетание речевых средств, которыми привык оперировать. Вывод, который я сделал для себя в результате изучения некоторых алгоритмов и наблюдения за переводом с языка на язык, заключается в том, что восприятие формул, алгоритмов может быть темой для целой серии очень серьезных исследований с привлечением наработок из совершенно разных областей человеческой деятельности.

Нужны ли реализации полных алгоритмов?!


Безусловно, реализации, например, полных комбинаторных алгоритмов могут работать в разы медленнее и могут быть более запутанными и некрасивыми, чем их сокращенные аналоги. На мой взгляд, подобные пошаговые реализации могут служить орудием своего рода реверс-инжиниринга, — когда нужно получить не механически переписанный с языка на язык код, а понимание всех шагов, что, кстати, в дальнейшем может послужить путём и к понимаю всех сокращений и витиеватостей в более быстрых и кратких аналогах.
Модификация представления алгоритма сочетаний без повторений

Не секрет, что при выведении на бумаге многие комбинаторные алгоритмы кажутся достаточно простыми. Например, алгоритм порождения сочетаний без повторений ( или комбинаций без повторений — различаются хотя бы одним элементом ) может быть выведен практически сходу без особенного осмысления, фактически интуитивно. Я, правда, при выписывании на листке всех сочетаний для n=5 по k=3 пару раз совершил одну и ту же ошибку, проигнорировав одно из чисел и получил неверный результат; это привело меня к мысли, что представление алгоритма на бумаге стоит осуществлять более системно, с максимальной визуализацией, с большим числом проверок при переходе от одного шага к другому, иначе то, что может быть реализовано за несколько минут, может быть растянуто на несколько часов или даже дней.

Далее мой эксперимент — представление полного алгоритма перебора сочетаний


Кратко алгоритм генерации сочетаний сформулирован так: «… в текущем сочетании найдём самый правый элемент, не достигший ещё своего наибольшего значения; тогда увеличим его на единицу, а всем последующим элементам присвоим наименьшие значения».
Источник.

Мне не очень понятно ни описание, ни реализация, поэтому я решил все немножко усложнить и добавить несколько дополнительных шагов, чтобы таким образом компенсировать свою невнимательность к числам и сделать описание более подробным.

Описание


На входе массив А=123456 (для примера), отсортированный по возрастанию; N=6 (кол-во символов в массиве); допустим, K=3,.

До входа в цикл входной массив предлагается разбить на два — B и С, В хранит значения от 1 элемента (включительно) и до K (включительно) и в C все остальное, т. е. B[123] и С[456].

1) Во внешнем цикле осуществляется перебор элемента на позиции K в В, т. е. B[K], поиск элемента большего на единицу в массиве C и обмен. Вывод на экран.

2) Далее условие — если B[K] равно N — последний элемент массива, то запускается цикл поиска элемента слева от К, для которого в массиве C есть больший на единицу. Если дошли до 0 индекса и таких элементов нет, то алгоритм завершается.

3) Если же элемент в С найден, то ищется его индекс, чтобы в дальнейшем уменьшить элемент в С на единицу, а элемент в B увеличивается на единицу. Затем массив B разбивается на два (можно без этого, см. сокр. вариант); до текущего элемента и после. Все, что после текущего элемента, переносится в массив С.
Массив B увеличивается до индекса K по возрастанию, а из массива С удаляются лишние элементы. Завершается вложенный цикл. Операции повторяются заново.


Использование этого алгоритма оказывается более затратным по времени, но хранение дополнительного массива позволяет избежать ошибок, связанных с вниманием и делает понятным более краткие реализации. В результате после разложения алгоритма на большее число шагов, у меня получилось практически сразу его закодировать.

Однако, должен предупредить, что реализация не на бумаге, а на языке, например, на PHP может показаться очень запутанной. Но, тем не менее, формально алгоритм работает правильно.

Полный нерекурсивный алгоритм порождения сочетаний (combinations) без повторений. PHP
 <?php
$a=array(1,2,3,4,5);
$k=3;
$n=5;
$c=array_splice($a, $k);
$b=array_splice($a, 0, $k);
$j=$k-1;
print_r($b);
 
        while (1) {
	   if (in_array($b[$j]+1, $c)) {
       		$m=array_search($b[$j]+1,$c);
       	     if ($m!==false) $c[$m]-=1; 
        	$b[$j]=$b[$j]+1;
               	print_r($b);
 	       
        }

       	if ($b[$k-1]==$n) {
	 $i=$k-1; 
	 while ($i >= 0) {
	 	if ($i == 0 && !in_array($b[$i]+1, $c)) {
		break 2;
		}
		if (in_array($b[$i]+1, $c)) {
       		  $m=array_search($b[$i]+1,$c);
		  if ($m!==false) $c[$m]=$c[$m]-1; 
			  $b[$i]=$b[$i]+1;
			  $f=array_splice($b, $i+1);
		          $b=array_splice($b, 0, $i+1);
			  $c=array_merge($c,$f);	
		 
			$g=$i;
		while ($g != $k-1) {
			$b[$g+1]=$b[$g]+1;
			$g++;
			}
			$c=array_diff($c,$b);
			print_r($b);
		 	     break;  
       			 }
	 	$i--;
	
		}
	
	}
	
             
}



Сокращённый вариант с комментариями

 <?php
$a=array(1,2,3,4,5);
$k=3;
$n=5;
$c=array_splice($a, $k);
$b=array_splice($a, 0, $k);
$j=$k-1;
//Вывод
	function printt($b,$k) {
	
	$z=0;
	while ($z < $k) print $b[$z++].' ';
	print "\n";
}
printt ($b,$k);
 
        while (1) {
//Увеличение на позиции K до N
       		$m=array_search($b[$j]+1,$c);
       	     if ($m!==false) {
	     	$c[$m]-=1; 
  	      	$b[$j]=$b[$j]+1;
        	       		printt ($b,$k);
       
        }
       	if ($b[$k-1]==$n) {
	 $i=$k-1; 
//Просмотр массива справа налево
	 while ($i >= 0) {
		//Условие выхода
	 	if ($i == 0 && $b[$i] == $n-$k+1) break 2;
//Поиск элемента для увеличения
       		  $m=array_search($b[$i]+1,$c);
		  if ($m!==false) { 
		  	  $c[$m]=$c[$m]-1; 
			  $b[$i]=$b[$i]+1;
		 
			$g=$i;
//Сортировка массива B по возрастанию
		while ($g != $k-1) {
			array_unshift ($c, $b[$g+1]);
			$b[$g+1]=$b[$g]+1;
			$g++;
			}
//Удаление повторяющихся значений из C
			$c=array_diff($c,$b);
				    printt ($b,$k);
		 	     break;  
       			 }
	 	$i--;
	
		}
	
	}
	
             
}

?>



Пошаговая работа кода (интервал между кадрами 20 сек.)

image

Добавление
Интересно, что данный алгоритм довольно легко модифицируется в алгоритм порождения сочетаний
с повторениями. Для этого достаточно по-другому задать массивы С и B, после удаления повторяющихся значений, на каждом проходе добавлять в С элемент под номером N. Вместо сортировки массива B по возрастанию, достаточно заполнить массив B после элемента K одним и тем же единожды увеличенным элементом.


Полный нерекурсивный алгоритм порождения сочетаний (combinations) с повторениями. PHP
Содержимое
<?php
$k=3;
$n=5;
$c=array(2,3,4,5);
$b=array(1,1,1);
$j=$k-1;
//Вывод
	function printt($b,$k) {
	
	$z=0;

	while ($z < $k) print $b[$z++].' ';
	print "\n";
}
printt ($b,$k);
 
        while (1) {
//Увеличение на позиции K до N
    
       	 if (array_search($b[$j]+1,$c)!==false ) {	     	
  	      	$b[$j]=$b[$j]+1;
        	printt ($b,$k);
       }
        
       	if ($b[$k-1]==$n) {
	 $i=$k-1; 
//Просмотр массива справа налево
	 while ($i >= 0) {
		//Условие выхода
	 	if ( $i == 0 && $b[$i] == $n) break 2;
//Поиск элемента для увеличения
       		  $m=array_search($b[$i]+1,$c);
		if ($m!==false) {
		           $c[$m]=$c[$m]-1; 
			  $b[$i]=$b[$i]+1;
		 
			$g=$i;
//Сортировка массива B 
		while ($g != $k-1) {
			array_unshift ($c, $b[$g+1]);
			$b[$g+1]=$b[$i];
			$g++;
			}
//Удаление повторяющихся значений из C
	                            $c=array_diff($c,$b);
				    printt ($b,$k);
                                    array_unshift ($c, $n);
                
		 	     break;  
       			 }
	 	$i--;
	
		}
	
	}
	
             
}

?>


Дополнение. 05.06.2017
Данный алгоритм можно использовать и для генерации размещений без повторений или с повторениями. Для генерации всех размещений с повторениями генерируем все сочетания и для каждого сочетания все перестановки. Модифицированный для этой задачи алгоритм перестановок приведен из предыдущей статьи:
Алгоритм генерации все размещений с повторениями. PHP
<?php
set_time_limit(0);
//Функция генерации всех перестановок для разбиения
function perm($b) {

$a=array_reverse($b);
       while (1) {
	   	   	print_r($a);
			print '<br/>';
		   if ($a ==$b) break;	
   $i=1;
	while($a[$i] >= $a[$i-1]) {
    $i++;
}
   $j=0;
	  while($a[$j] <= $a[$i]) {
    $j++;	
}	
	  $c=$a[$j];
	  $a[$j]=$a[$i];
	  $a[$i]=$c;
	$a=array_merge(array_reverse(array_slice($a, 0, $i)),array_slice($a, $i));	
	}
}


//Генерируем все сочетания с повторением
//установим к и n
$k=5;
$n=5;
//Установим массив
$c=array(1,2,3,4,5);
//установим массив b число единиц, в котором равно k
$b=array(1,1,1,1,1);
$j=$k-1;
//Вывод
	function printt($b,$k) {
 

	//На каждое сочетание генерируем все перестановки
perm($b);
	

}
printt ($b,$k);

 
        while (1) {
//Увеличение на позиции K до N
 
       	 if (array_search($b[$j]+1,$c)!==false ) {	     	
  	      	$b[$j]=$b[$j]+1;
        	printt ($b,$k);
       }
 
       	if ($b[$k-1]==$n) {
	 $i=$k-1; 
//Просмотр массива справа налево
	 while ($i >= 0) {
		//Условие выхода
	 	if ( $i == 0 && $b[$i] == $n) break 2;
//Поиск элемента для увеличения
       		  $m=array_search($b[$i]+1,$c);
		if ($m!==false) {
		           $c[$m]=$c[$m]-1; 
			  $b[$i]=$b[$i]+1;
 
			$g=$i;
//Сортировка массива B 
		while ($g != $k-1) {
			array_unshift ($c, $b[$g+1]);
			$b[$g+1]=$b[$i];
			$g++;
			}
//Удаление повторяющихся значений из C
	                            $c=array_diff($c,$b);
				    printt ($b,$k);
                                    array_unshift ($c, $n);
 
		 	     break;  
       			 }
	 	$i--;
 
		}
 
	}
 
 
}

?>




Лирико-практическое дополнение
Уже после написания этой статьи я оказался в библиотеке им. Ленина с томиком «Трудов по не математике» (т. I) В.А. Успенского, который в главе о Витгенштейне оставил такие строки, цитируя его самого: «Деятельность, деятельность и еще раз деятельность — вот кредо Витгенштейна. Для него процесс важнее результата. „Я открываю не результат, а тот путь, которым он достигается.“». В.А.Успенский (Витгенштейн).

Post Scriptum
Свою прошлую статью о порождении сочетаний я опубликовал преждевременно, не заметив сразу несколько ошибок, поэтому извиняюсь за свою поспешность. Реализации нерекурсивного и рекурсивного алгоритмов порождения сочетаний на разных языках были обнаружены мной на сайте rosettacode.org. Там же есть реализации алгоритма из книги Липского.
Tags:алгоритмыпорождения сочетанийcombinationsсочетания с повторениемсочетания без повторенийгенерация размещений с повторениемтворческий процесс в IT
Hubs: Algorithms
+2
5.6k 35
Comments 21
Popular right now
Разработчик С/C++
from 80,000 ₽EltexНовосибирск
Разработчик С /С++
from 110,000 ₽VMS SoftwareСанкт-ПетербургRemote job
IT-рекрутер
from 45,000 to 70,000 ₽ITSummaRemote job
IT–рекрутер
from 60,000 to 120,000 ₽HighTeamМоскваRemote job
Руководитель IT проектов
from 120,000 ₽YLabRemote job