Comments 23
Наверное всё это очень полезно, но после того, как куб склеили из трёх граней и у него стало не хватать одной вершины, стало не интересно, подожду более вменяемой статьи.
Пока не нахватал минусов уточню, что пояснения я просто не понимаю, у куба 8 вершин и 6 граней, если надо составить куб, то мы берём два раза по три грани, итого 6 четырёхугольников, или 8 раз по три грани (с наложением) итого 24 четырёхугольников. Соотвественно {4, 3} вместо {4, 6} или {4, 24} мне ничего не поясняет как и комментарий к иллюстрации.
«Шлефли, который означает, что он состоит из 4-рёхугольников, сошедшихся по 3 штуки в вершине. Рисунок слева.

Т.е. куб получается соединением 3-х квадратов {4}, в каждой вершине. Склейка в одной из вершин показана на видео.»

Просто надо идти от вершины. Если вы соединяете 4рехугольники по 3 в вершине, причем мы договорились что p1 это правильная фигура, т.е. квадрат, и заворачивается фигура в одну точку к центру, то ничего кроме куба не получится.

У меня же, в свою очередь, возник вопрос исходя из индукционного определения символа шлефли найденного после прочтения статьи — во всех ли случаях символ задаёт фигуру однозначно? Нет ли исключений, которые после нарезки на символы Шлефли будут давать одинаковые записи?
Если идти от вершины, тогда квадрат, это не {4}, а {4, 2} (четыре вершины у каждой две одномерных грани), а куб тогда будет {8, 3} (8 вершин, у каждой 3 двухмерных грани). Я не улавливаю систему
Количество вершин не описывается. Описывается одна вершина в которой сходятся {4 (квадрат), 3(чтуки)}. Фигура у которой все вершины описаны таким образом — куб.
Да, описывается одна вершина, но по умолчанию мы глубоко знаем и понимаем, что многогранник выпуклый и правильный, поэтому в остальных вершинах будет происходить тоже самое. Т.е. для описания всего многогранника достаточно описать одну вершину, в остальных тоже самое, поэтому всё вместе успешно порождает многогранник.
Т.е. {4,3} в каждой из 8 вершин, но указывать количество вершин не нужно, достаточно указать строение одной вершины.
Вообще с количеством вершин — это отдельная сложная задача, особенно в 4-хмерии, в трёхмерии всё просто получается. Тоже хотел об этом сказать, может быть напишу в следующей статье.
Спасибо за разъяснения, комментарии ниже поставили всё на свои места: символ Шлефли определяет класс фигур, а не конкретную фигуру. Фактически, это какая-то мера топологии, так что мои попытки конкретезировать были ни к чему.
1. во всех ли случаях символ задаёт фигуру однозначно?
Нет, каждый символ {p1,p2} или {p1,p2,p3} (для всех размерностей) задаёт целый класс фигур, с точностью до равномерного искривления пространства. Т.е. когда мы говорим {4,3} надо уточнять, что это правильный выпуклый многогранник, или {4,3} — разбиение двумерной сферы. А может быть рёбра куба {4,3} мы изогнём так (как показано на одном из видео), что дуги уже не будут прямолинейными отрезками и в тоже время не лягут на сферу, т.е. дуги займут какое-то промежуточное значение между Сферой и Евклидом (если надувать куб) или между Лобачевским и Евклидом (если сдувать куб). Эти объекты тоже задаются своим символом {4,3}. А можем вообще считать, что рёбра куба являются криволинейными отрезками, это тоже будет {4,3}. Т.е. Символ Шлефли задаёт континуальное количество объектов.
Но когда мы говорим, что правильный выпуклый многогранник {4,3} — то это однозначно куб. Т.е. надо уточнять свойства объекта, задаваемого символом Шлефли. Наиболее интересны только разбиения пространств постоянной кривизны, это уже не мало. Рассматривать какие-то случайные изгибания рёбер вроде бы нет смысла.

2. Нет ли исключений, которые после нарезки на символы Шлефли будут давать одинаковые записи?
Не совсем понял вопрос, что такое «нарезка на символы Шлефли»? Если под нарезкой понимать, что есть объект и мы по его внешнему виду записываем его символ Шлефли, то нет, исключений нет, только с оговорками данными в ответе на первый вопрос. Т.е. исключений нет, по объекту строится однозначно его символ Шлефли, с оговоркой, что символ Шлефли задаёт целый класс объектов. Для некоторого класса объектов, которые я попытался описать и показать на видео «Изгибание рёбер куба» и «Изгибание рёбер октаэдра», символ Шлефли строится однозначно.
Спасибо автору, по-моему это все потрясающе! В трех цифрах можно выразить все наши знания о пространстве — изящно и ненавязчиво.
А весь этот фестиваль геометрии, очевидно, как-то связан с Вашей профессиональной деятельностью или такое вот хобби?
Работаю программистом. Люблю математику и учусь на вечернем отделении мехмата МГУ. В рамках учебной программы ходил пару лет на спецкурс по геометрии Лобачевского и Проблемам Дискретной Геометрии, читает Макаров Виталий Сергеевич с кафедры дискретной математики МГУ. Вот и поднатаскался на многогранники. Вообще Символ Шлефли — давнее изобретение, просто решил популярно изложить материал, чтобы сделать это достоянием общественности.
Почему то четырехмерные фигуры легче воспринимаются с помощью градиента или анимации. Спасибо за статью, очень красиво.
Спасибо большое за статью, давно хотел разобраться с многомерными многогранниками, но эти изображения обычно только пугали…
Рисунки пронумерованные с 22 по 31, а также выше аналогичные два рисунка по тессеракту {4,3,3} — честно скачал из Интернета, в основном из википедии. Остальные рисунки и анимации сделаны самостоятельно, ссылки на программы и исходники дал, могу довложить, если что-то недодал.
Программа OpenSCAD, о которой уже говорил в статье, очень хорошая, трёхмерные изображения рисуются на счёт раз, надо только освоиться немного. Вот, например, вчера нарисовал торы за 20 минут.

А вот 4-мерные картинки, точнее картинки, где изображены четырёхмерные многогранники, как уже сказал, скачал из википедии.
Что-то такое я встречал на лекциях по пермутоэдрам ))) Я не понял смысловую нить статьи.
Смысл статьи — дать и объяснить понятие-определение «Символ Шлефли», только не лексическое, а образно-логическое определение. Этот термин нужно понимать, чтобы понять вывод многогранников в размерностях 4 и выше.
Спасибо. Очень интересно. Открылись чакры. Разбиение искривлённого трехмерного пространства, выраженное в символах Шлефли, очень помогает его вообразить.

оффтоп: Помню на первом курсе (много лет назад, еще XT 8088 были в ходу) писал визуализацию вращения гиперкуба. Двенадцать кнопок управления поворотом (6 осей, по два направления каждой: по и против часовой).
Да, я тоже в своё время пытался изобразить 4-мерное пространство на компьютере с помощью вращения. Хотел сначала 3-мерный куб повращать, а потом аналитически обобщить это вращение на 4-мерие и посмотреть, что получится визуально, но, честно говоря, до конца эту идею не довёл и, да, в то время ещё компьютеры послабее были.
Очень приятно, что нас так много единомышленников, во всяком случае тех, кто интересуется одними и теми же вопросами.
Да там программка-то на два экрана. Вершины — 16 векторов типа (1, 1, 1, 1), (1, -1, 1, 1),… умножаешь на матрицу поворота 4х4, убиваешь четвёртую и третью координаты с небольшой перспективой для отображения на экране, и всех дел-то.
Ну вот бы и написали статью на Хабре, с картинками, с исходниками, чтобы все поняли и могли сами поэкспериментировать.
Only those users with full accounts are able to leave comments. Log in, please.