Pull to refresh

Аппроксимация числа Пи с помощью множества Мандельброта

Mathematics

Я всегда говорил своему другу, что математика со своими изящными абстракциями обладает той магической силой, потенциал которой до сих пор полностью не раскрыт. Сегодня я хочу поговорить о том, как можно приблизить число Пи с помощью множества Мандельброта.


Пару слов о множестве


На самом деле на Хабре куча статей, описывающие множество Мандельброта (далее, множество М), рассматривающие его свойства, историю и удивительную красоту, подкрепляя всё это красочными картинками. Мне бы не хотелось останавливаться на его определении и прочих деталях, а сразу перейти к делу. Однако в силу того, что оно является центральным субъектом данной статьи, я все же освежу вашу память.
Множество М — это множество всех комплексных чисел с, для которых функция f_c(z) = z * z + c при ее итерации с z = 0 ограничена. Настолько просто.
На практике мы применяем следующую теорему: если функция (вышеприведенная) в ходе итерации превосходит значение 2, то она 100% не ограничена. Поэтому, определить множество можно так:


z_{n+1} = z_n * z_n + c
c ∈ M <=> Lim(sup|z_{n+1}|) <= , n -> +inf

Я не буду затрагивать тему визуализации, туда мы сегодня копать не будем.


Число Пи?


Действительно, каким-таким образом?


Все то, что покрыто черным на картинке принадлежит множеству М.

Возьмем "координату соприкосновения двух частей" множества c = -0.75 + ix (где x ∈ ℚ). Проверим её принадлежность ко множеству М: начнем итерировать функциюz_{n+1} = z_n * z_n + c n-раз от нуля и проверять, превосходит ли полученное значение 2. Если да, то функция разошлась, и значение с не принадлежит множеству при данном n. Иначе — принадлежит.


x c n (кол-во итераций до расхода функции)
0.1 -0.75 + 0.1i 33
0.01 -0.75 + 0.01i 315
0.001 -0.75 + 0.001i 3143
0.0001 -0.75 + 0.0001i 31417
0.00001 -0.75 + 0.00001i 314160

Именно. Если поставить запятую на нужном месте, цифры напоминают число Пи.


Наверное, совпадение


Не будем заморачиваться с комплексной частью и возьмем число c = 0.25. Оно принадлежит множеству при бесконечно большом количестве итераций. Поэтому, будем "приближаться" к этой точке справа: возьмем c = 0.26, проверим его; c = 0.2501, проверим его, и т. д.


c n (кол-во итераций до расхода функции)
0.26 30
0.2501 312
0.25001 991
0.250001 3140
0.2500001 9933
0.25000001 31414

Последовательность колеблется между двумя значениями, однако эхо числа Пи (поставив запятую в нужное место) никуда не исчезло.


Немного истории


Само множество М, названное в честь математика Бенуа Мандельброта — совсем недавное открытие. Бенуа даже выступал на TEDx, говоря в том числе и о нем.
В 1991 Дейв Болл изучал, действительно ли "соприкосновение двух частей множества" М около c = -0.75 "бесконечно тонко". В ходе своего исследования он и обнаружил то, о чем мы сейчас говорим.


И все-таки, наверное, совпадение


Попытаемся понять, что происходит: действительно ли мы получаем число Пи или это какое-то иное трансцендентное число.
Все это будем делать вокруг точки c = 0.25 (просто в силу отсутствия у него комплексной части — так легче).


Рассмотрим рекурсивную функцию y = y * y + 0.25. При ее итерации от нуля заметим, что она очень медленно стремится к значению 0.5.


Наглядно

Чтобы не дать ей "застрять" на этом значении, мы подвинем данную функцию на ε единиц вверх (ε бесконечно мало, не равно нулю). Тогда она примет вид y = y * y + 0.25 + e.
Данная функция медленно стремится к значению 0.5, а после того, как проходит его, быстро убегает в бесконечность.


Будем копать дальше.
Пусть x = y + 0.5. Наша задача — найти ноль.
Делая замену в исходной функции, получим: y = y * y + y + e
Взяв в качестве ε любое малое значение, проитерируем функцию от нуля:


y
0.001 ( = ε)
0.002001
0.0030050040010000004
0.004014034050046026
0.005030146519400955
0.006055448893407596
0.007092117354708267
0.00814241548328122
0.009208714413183598
0.010293514834327173

Видим, что она достаточно плавно и медленно возрастает возле нуля. Исходя из этого, мы в праве предположить, что разность (n+1)-го и n-го значений функции близка к её производной: y_{n+1} - y_{n} = y'(n).
Учитывая это, наша исходная функция примет вид: y'(n) = y * y + e, что является простейшим дифференциальным уравнением первого порядка. Решая его (например, методом разделения переменных), получим: y = sqrt(e) * tg(sqrt(e) * n + C), C = const
Вспоминаем нашу цель — поиск нуля. Данное выражение равно нулю только в двух случаях: либо квадратный корень из ε равен нулю — невозможно по определению, либо тангенс равен нулю. Пренебрегая константой C: tg(sqrt(e)*n) = 0 <=> sqrt(e) * n = pi. Это подтверждает то, что мы сегодня увидели:


ε n√ε
0.01 3.0
0.0001 3.12
0.000001 3.140
0.00000001 3.1414

Видно, что множитель √ε ставит ту самую запятую в нужное место.


Заключение


Построение числа Пи данным методом является, наверное, самым неэффективным способом: нужно проделать 314160 итераций для того, чтобы получить 3,14160. Кроме того, метод не обладает высокой точностью в силу больших погрешностей вычислений.
Однако нам удалось соединить две, казалось бы, несоединимые точки: фрактал и отношение длины окружности к длине её диаметра.

Tags:математикафракталычисло пимандельброт
Hubs: Mathematics
Rating +41
Views 17.5k Add to bookmarks 69
Comments
Comments 4

Popular right now

Calibration Engineer (3D Computer Vision)
from 200,000 ₽OccipitalМосква
3D Computer Vision Engineer
from 200,000 ₽OccipitalМоскваRemote job
Инженер-программист ПЛК / SCADA
from 40,000 to 95,000 ₽GAFSYNRemote job
Fullstack PHP-программист
from 120,000 to 220,000 ₽QIP.ruМосква

Top of the last 24 hours