Как я VK Mobile Challenge принял

Скриншоты будут чуть позже. Мы сейчас активно перерабатываем интерфейсы.

Я на стартовой активити проверял сессию вот так:

VKSdk.wakeUpSession(this, new VKCallback<VKSdk.LoginState>() {
            @Override
            public void onResult(VKSdk.LoginState res) {
                switch (res) {
                    case LoggedOut:
                        startActivity(new Intent(SplashActivity.this, LoginActivity.class));
                        finish();
                        break;
                    case LoggedIn:
                        Intent intent = new Intent(SplashActivity.this, ListGroupsActivity.class);
                        startActivity(intent);
                        finish();
                        break;
                    case Pending:
                        break;
                    case Unknown:
                        break;
                }
            }

            @Override
            public void onError(VKError error) {

            }
        });

Добавлю к предыдущему комментарию.
Скопы использую такие:

private static final String[] sMyScope = new String[]{
            MyVKScope.NOHTTPS,
            MyVKScope.GROUPS,
            MyVKScope.STATS,
            MyVKScope.PHOTOS,
            MyVKScope.MARKET
    };

Посмотрите здесь раздел (по поиску) Авторизация пользователя.
Обратите внимание на описание, начинающее со слов После этапа авторизации в Вашем Activity или Fragment будет вызван метод onActivityResult...
Класс VKAccessToken, который возращается в VKCallback, подробно описан здесь
Обратите внимание на публичные константы, которые описаны в классе. Далее, выбирая необходимые вам, передаете их через стандартный вызов нужной вам активити(intent.put.....())