How to become an author
Search
Write a publication
Pull to refresh

Comments 17

Пожалейте неучей, покажите картинки! Вы же редактор 2D графики делаете, должны же быть иллюстрации?
Total votes 1: ↑1 and ↓0+1
Я его делал. :) С задачей этой я разобрался, но в редакторе не реализовал. Поэтому показывать вроде и нечего.
This comment wasn’t rated yet0
Можно вопрос, зачем вы всё транспонировали? Традиционно геометрический вектор обозначается вектором-столбцом, а у матрицы преобразования строка (0, 0, 1) — внизу, а не справа.
Вектор-строка же обозначает обычно ковектор, который принципиально другой объект.

Что же касается формул, держите и больше так не делайте (  для отступов я уж не стал делать, можете сами):

Картинки
M = \begin{pmatrix}\ a_{11} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & 1\end{pmatrix}
\operatorname{det} M = a_{11}\,a_{22} - a_{12}\,a_{21},\qquad \operatorname{det} M \ne 0
p_1 = p_0 \cdot M = (x_0, y_0, 1) \begin{pmatrix}\ a_{11} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & 1\end{pmatrix}
M_c = R \cdot H_x \cdot S
R = \begin{pmatrix}\ \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
H_x = \begin{pmatrix}\ 1 & hx & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
S = \begin{pmatrix}\ sx & 0 & 0 \\ 0 & sy & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
M = T_0 \cdot S \cdot H \cdot R \cdot T_0^{-1} \cdot T
T_0 = \begin{pmatrix}\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -tx_0 & -ty_0 & 1\end{pmatrix}
T_0^{-1} = \begin{pmatrix}\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ tx_0 & ty_0 & 1\end{pmatrix}
T = \begin{pmatrix}\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ tx & ty & 1\end{pmatrix}
a_{11} = sx \cdot \cos \alpha - sx \cdot hx \cdot \sin \alpha
a_{12} = sx \cdot hx \cdot \cos \alpha + sx \cdot \sin \alpha
a_{21} = -sy \cdot \sin \alpha
a_{22} = sy \cdot \cos \alpha
a_{31} = tx + tx_0 \cdot (1 - (sx \cdot \cos \alpha - sx \cdot hx \cdot \sin \alpha)) + ty_0 \cdot sy \cdot \sin \alpha
= tx + tx_0 \cdot (1 - a_{11}) - ty_0 \cdot a_{21}
a_{32} = ty + ty_0 \cdot (1 - \cos \alpha \cdot sy) - tx_0 \cdot (sx \cdot hx \cdot \cos \alpha + sx \cdot \sin \alpha)
= ty + ty_0 \cdot (1 - a_{22}) - tx_0 \cdot a_{12}
\operatorname{if} a_{22}=0
\alpha = \frac{\pi}{2},
sy = -a_{21}
\operatorname{else}
\alpha = \operatorname{atan}\left(-\frac{a_{21}}{a_{22}}\right),
sy = \frac{a_{22}}{\cos \alpha}
sx = \frac{\operatorname{det}(M)}{sy}},
hx = \frac{a_{11} \cdot a_{21} + a_{12} \cdot a_{22}}{\operatorname{det}(M)},
tx = a_{31} + ty_0 \cdot a_{21} + tx_0 \cdot (a_{11} - 1),
ty = a_{32} + tx_0 \cdot a{12} + ty_0 \cdot (a_{22} - 1).

TeX
$$ M = \begin{pmatrix}\ a_{11} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & 1\end{pmatrix}$$

$$ \operatorname{det} M = a_{11}\,a_{22} - a_{12}\,a_{21},\qquad \operatorname{det} M \ne 0$$

$$ p_1 = p_0 \cdot M = (x_0, y_0, 1) \begin{pmatrix}\ a_{11} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & 1\end{pmatrix} $$

$$ M_c = R \cdot H_x \cdot S $$

$$ R = \begin{pmatrix}\ \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$

$$ H_x = \begin{pmatrix}\ 1 & hx & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$

$$ S = \begin{pmatrix}\ sx & 0 & 0 \\ 0 & sy & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$

$$ M = T_0 \cdot S \cdot H \cdot R \cdot T_0^{-1} \cdot T $$

$$ T_0 = \begin{pmatrix}\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -tx_0 & -ty_0 & 1\end{pmatrix}$$

$$ T_0^{-1} = \begin{pmatrix}\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ tx_0 & ty_0 & 1\end{pmatrix}$$

$$ T = \begin{pmatrix}\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ tx & ty & 1\end{pmatrix}$$

$$a_{11} = sx \cdot \cos \alpha - sx \cdot hx \cdot \sin \alpha$$

$$a_{12} = sx \cdot hx \cdot \cos \alpha + sx \cdot \sin \alpha$$

$$a_{21} = -sy \cdot \sin \alpha$$

$$a_{22} = sy \cdot \cos \alpha$$

$$a_{31} = tx + tx_0 \cdot (1 - (sx \cdot \cos \alpha - sx \cdot hx \cdot \sin \alpha)) + ty_0 \cdot sy \cdot \sin \alpha $$

$$= tx + tx_0 \cdot (1 - a_{11}) - ty_0 \cdot a_{21}$$

$$a_{32} = ty + ty_0 \cdot (1 - \cos \alpha \cdot sy) - tx_0 \cdot (sx \cdot hx \cdot \cos \alpha + sx \cdot \sin \alpha) $$

$$ = ty + ty_0 \cdot (1 - a_{22}) - tx_0 \cdot a_{12}$$

$$\operatorname{if} a_{22}=0 $$

$$ \alpha = \frac{\pi}{2},$$

$$ sy = -a_{21} $$

$$ \operatorname{else} $$

$$ \alpha = \operatorname{atan}\left(-\frac{a_{21}}{a_{22}}\right), $$

$$ sy = \frac{a_{22}}{\cos \alpha} $$

$$ sx = \frac{\operatorname{det}(M)}{sy}},$$

$$ hx = \frac{a_{11} \cdot a_{21} + a_{12} \cdot a_{22}}{\operatorname{det}(M)},$$

$$ tx = a_{31} + ty_0 \cdot a_{21} + tx_0 \cdot (a_{11} - 1),$$

$$ ty = a_{32} + tx_0 \cdot a{12} + ty_0 \cdot (a_{22} - 1).$$


Сконвертить TeX в картинки можно тут.
Total votes 10: ↑10 and ↓0+10
Если рассматривать это как систему уравнений в которой мы умножаем перпеменные координаты точки на коэффициеты матриы преобразования, то, наверно, вариант с вектором-столбцом действительно смотрится логичнее. По поводу транспонирования это сюда: Quartz 2D Programming Guide: The Math Behind the Matrices. Поскольку это все делалось под Мак. Лично я ничего криминального в умножении справа не вижу.

По поводу формул, спасибо вам за картинки
This comment wasn’t rated yet0
Кроме того, в статье на которую я ссылаюсь, судя по виду матрицы поворота, также умножение справа.
По поводу формул, спасибо вам за картинки. Пусть они будут здесь. Но, мне все-таки мой вариант нравится больше, за исключением того, что из-за увеличенного интервала между строк разбился "ASCII art" для скобок вокруг матриц. Интересно, можно ли этот интервал локально убрать? А нравится мне мой вариант больше, потому что визуально большой разницы нет (по-крайней мере не для математика), а поскольку это не картинки а текст, его можно просто скопировать и куда-то вставить, например себе в комментарии в код.
This comment wasn’t rated yet0
UFO just landed and posted this here
Тут прекрасно всё — и преобразования имени славного греческого города Афины, и программирование алгоритма.
Total votes 1: ↑1 and ↓0+1
Про Афины – спасибо, поправил. А вот про "программирование алгоритма" не понял.
This comment wasn’t rated yet0
Программирования в материале не видно: как самой программы, так и результатов работы ее алгоритма. Написание нескольких строк кода по формуле — не выглядит серьезным достижением.
Total votes 1: ↑1 and ↓0+1
А, вы имеет в виду, что я поместил в хаб Программирование и не привел примера ее реализации? Понятно. Ну я в этот хаб поместил, потому, что эта задача имеет очевидное отношение к программированию, а не потому что, я много и упорно программировал, пытаясь ее решить. Очевидно, что реализация этого алгоритма элементарна. По этой причине я и не стал приводить ее.
На серьезное достижение я не претендую, что вы. Достижение не у меня, а в статье, на которую я ссылаюсь. Я всего лишь вытащил из нее то, что непосредственно требуется для решения поставленной задачи, добавил отсутствующие компоненты и опубликовал здесь в надежде на то, что это может пригодиться еще кому-нибудь. Потому что, это теперь статья Путятина у меня в Гугле выскакивает на первой странице, а когда я искал соответствующую информацию то ли год, то ли полгода назад, как-то ничего не попадалось. То ли я запрос по другому составил, то ли в Гугле что-то подкрутили, или может этой статьи там тогда и не было добавлено. Не знаю.
This comment wasn’t rated yet0
Вот тут за матрицы вам расскажут таки всё: http://www.macaronikazoo.com/?page_id=413

Втч и про декомпозицию.
This comment wasn’t rated yet0
За ссылку спасибо. Почитал. Есть интересные моменты, но про то, что там "за матрицы таки все", это вы погорячились. :)

Technically its impossible to extract scale and rotation from a general transformation matrix, but in reality its generally easy. What does this mean? Well basically a general transformation matrix can have shear as well as scale as well as rotation. And all three of these pieces of data live in the upper 3×3 quadrant of the matrix. But if you know you’re just working with rotations, translations and scale (which in my professional life has always been the case – but perhaps others have different stories?) then its possible and in fact pretty easy.

Человек пишет, фактически, что в общем случае задача декомпозиции неразрешима и рассматривает один отдельный случай, в котором отсутствуют преобразования сдвига и порядок применения матриц известен.
This comment wasn’t rated yet0
Просто после прочтения этих 6 статей, мозги встают на место и начинаешь понимать что же такое матрица. По крайней мере я после этого смог довольно быстро сбацать свой собственный деформер для Autodesk Maya как раз на основе матриц.

Всё же поражаюсь иногда, насколько неэффективно и непонятно могут обьяснять простые вещи в учебных заведениях.
This comment wasn’t rated yet0
(Продолжение, опять не на ту клавишу нажал.)
По поводу неразрешимости задачи декомпозиции в общем случае для 3D сказать сразу ничего не могу. Но как мы видим для случая 2D он не прав.
В статьях его еще меня смутило то, что он вроде бы использует умножение справа, как и у меня, но в случае иерархии объектов сначала применяет матрицу трансформации родительского объекта (глобальную), а не локальную. Это странно. Например, у меня есть квадрат, растянутый в прямоугольник преобразованием масштабирования по оси Y. Он является частью вращающегося объекта. Кажется очевидным, что для того чтобы получить вращающийся прямоугольник, который сохраняет свою геометрию, надо сначала растянуть квадрат и только потом вращать, а не наоборот.
This comment wasn’t rated yet0
Это может быть связано с конкретной майской имплементацией, автор — майский TD.
Там есть разные порядки применения трансформов — все эти TRS, SRT и проч и проч.
This comment wasn’t rated yet0
Да, возможно это "особенности" майи. То есть, они могут формировать локальную и глобальную матрицы (независимо от того какой у них там порядок: TSR, SRT) как для умножения справа, но результирующую матрицу формировать для умножения слева, транспонируя глобальную и локальную матрицы.
This comment wasn’t rated yet0
Я путём некоторых экспериментов установил, что не любая матрица представима в виде заданного произведения элементарных матриц.
Вернее, некоторые порядки разложения возможны для любых матриц с ненулевым определителем, а для некоторых есть дополительные условия.
Скажем, в S*Hx*Sy — разложится любая матрица. А в S*R*Hx — только такая, у которой A[1][1]*A[2][1] не больше детерминанта.
Впрочем, это не точно. Мой результат на математическое доказательство не тянет.
This comment wasn’t rated yet0
Sign up to leave a comment.

Articles

Show the best of all time

Your account

Sections

Information

Services

Support
© 2006–2024, Habr