Comments 74
В книгах об этом напрямую не говорится, но получается, что векторам, параллельным некоторой плоскости, необязательно лежать на этой плоскости.
И правильно не говорится. Потому что вектор — это, строго говоря, не объект в пространстве. У него нет конкретного местоположения, как такового. Он не может, как вы сказали "где-то находиться". Иначе это будет уже не вектор, а векторное поле (а это — совсем иная история). Именно поэтому прямая, например, не задается однозначно направляющим вектором — необходимо определить еще хотя бы одну точку, принадлежащую этой прямой, чтобы задать ее однозначно (а не целое семейство параллельных прямых).
И в рамках этого простого факта, цитата, приведенная вами, становится очевидной до бессмысленности.
Поэтому в головах иногда возникает путаница, ведь радиус-векторы в отличие от "обычных" векторов не скользят в пространстве, а жёстко прибиты к началу координат.
Мне кажется, в подавляющем большинстве случаев проблема растёт из этого.
Вектор — это:
- объект, имеющий величину и направление;
- элемент линейного пространства;
- класс эквивалентности направленных отрезков;
- объект, заданный одномерным массивов своих координат.
Ни одно из определений вектора не дает ему быть "прибитым" к конкретной точке пространства.
Ра́диус-ве́ктор (обычно обозначается r со стрелкой или просто r — вектор, задающий положения точки в пространстве (например, гильбертовом или векторном) относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.
Для произвольной точки в пространстве, радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.
Вот определение из Википедии (не знаю, хватит ли авторитета).
Определение радиус-вектора даётся через вектор.
А ещё можно и просто здесь посмотреть Виды векторов
относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.
строго означает, что для того, чтобы радиус-вектор указывал на целевую точку, его надо отложить от заданной (начала координат). Иными словами, сам по себе радиус вектор информации о начале координат не содержит.
Именно из-за таких определений с линейной алгеброй в ВУЗе как-то не задалось. Всегда хотелось познать явление/сущность, а не выучить слова и действия.
Спасибо!
Там все конкретно, для определителя, например, есть вполне конкретная формула
Статья как раз об этом: вот есть конкретная формула для определителя. И что? Каков смысл определителя?
UPD. Ниже вот Morozov_5F уже упомянул эту книгу.
индикатор линейной зависимости векторов
Звучит как пустой набор слов. Геометрическая интерпретация в 100^100 лучше.
и изучении азов
По геометрической интерпретации сразу видно, кстати, почему операция умножения в общем случае не "переместительна", и свойства транспонированной матрицы.
"Индикатор" же не говорит ни о чем. Это объяснение допустимо при более глубоком изучении, на абстрактном уровне. Я же — о введении в тему, самом начале. Хорошо, когда понятие можно "пощупать", найти ясную аналогию, а потом развить определение до уровня, когда понятная аналогия остается лишь частным случаем. Это намного лучше для изучения, чем абстрактное определение "в лоб".
Конечно, зацикливаться не надо, но иллюстрация красивая, для изучения — полезная.
При помощи матриц определяют иногда совершенно различные объекты, матрица в этом смысле — лишь удобный способ записи. Иногда матрица определяет систему линейных уравнений, иногда — оператор, т.е. преобразование пространства, иногда — метрику, и только иногда матрица нужна как самоценный объект. Пытаться эти применения смешать воедино — глупость несусветная.
Скажем, если над матрицами, определяющими системы линейных уравнений допустимы (в том смысле, что приводят к эквивалентной задаче) операции по умножению строки на число и сложению строк, то для матриц операторов это недопустимая операция. Ну или еще пример: правила смены базиса для систем уравнений, операторов и метрик — три совершенно различных правила. А все потому что матрица сама по себе не имеет смысла никакого смысла, кроме "прямоугольная табличка с числами", а смысл ей придает задача, к которой такое матричное описание приложено.
В общем-то эти выводы никто не прячет, они отлично известны математикам и всем, кто достаточно много работает с математикой, но ваша правда в том, что они либо обычно не описаны в учебниках (потому что авторы считают, что можно вчерашнему школьнику на первой лекции дать определитель как число и ждать, что он сам заметит, что оно выражает площадь), либо описаны достаточно криво.
Важный факт потерялся: определитель это ориентированная площадь (вернее, гиперобъём), т.е. там что-то типа "если векторы, определяющие фигуру, перечислены в нём по часовой стрелке, то она положительна, а против — отрицательна". Потому он и меняет знак при перестановке строк / столбцов местами.
Впрочем, справделивости ради, 99% раздела "высшая математика" тем, у кого эта "вышка" была одним предметом. а не кучей 5-семестровых всевозможно-разных курсов — действительно по жизни никогда не понадобятся — уж очень это сложные и специфичные знания. (Лапласиан от Лагранжиана я когда-то отличал… самому страшно)
Так они поэтому и "не укладывается", что никто не парится связью одного с другим. Т.н. "геометрическим смыслом", например. И это именно то о чём написано выше.
Поэтому большое вам спасибо за статью.
Однако, быстрый гуглинг по запросу показывает, что вы (вероятно) близки к истине, но не совсем.
Потому что определитель ведь бывает отрицательным. А что такое отрицательная площадь или отрицательный объем?
Вот тут чуть подробнее (со ссылкой на англовики):
Геометрический смысл определителя следующий (для квадратной матрицы с вещественными элементами):
Линейное преобразование может быть представлено в виде матрицы, в таком случае модуль определителя задает масштабный коэффициент, на который умножается площадь/объем фигуры, а знак определителя показывает, сохраняет ли преобразование ориентацию фигуры.
К примеру, можно подсчитать площадь выпуклого многоугольника если выбрать внутри него точку, провести отрезки до вершин многоугольника из этой точки — и просуммировать площади получившихся треугольников.
А если взять направленные площади — то формула останется верной даже если центральную точку взять за пределами многоугольника. И даже невыпуклый многоугольник не станет проблемой.
Считать площадь многоугольника по такой формуле очень удобно, если взять за центр начало координат:
S = (x1 y2 — x2 y1) + (x2 y3 — x3 y2) +… + (xn y1 — x1 yn)
Если точка будет внутри фигуры, то знак площади просто вернёт вам направление обхода вершин «против или по часовой стрелке» от основной точки.
Если точка будет вне фигуры, то… Тут я затрудняюсь дать интерпретацию. Но я не затрудняюсь так же и не имея такой интерпретации.
Как меня однажды верно поправили на Хабре — математика действительно не наука, а конструктор формальных инструментов (подходов). Математика изучает какие инструменты могут существовать, как они взаимодействуют между собой как «вещи в себе», и как развивалось формальное человеческое мышление вообще.
И так выходит, что любая наука, базирующаяся на формальной логике, может бесплатно обращаться к громадному массиву формальных инструментов, уже разработанных математиками, которым в своё время было плевать на «физическую реальность, данной нам в ощущениях».
И да, определитель матрицы действительно в некотором частном случае может означать некую «осязаемую» метрику параллелепипеда.
Я бы мог добавить автору, что если мы посмотрим на матрицу как оператор преобразования точки в пространстве, то некоммутативность произведения матриц «в данном приложении» можно объяснить «на пальцах так»:
1) умножение матриц означает последовательность операций «движения».
2) поэтому задание «шаг вперёд»*«повернуть влево» даст результат, отличающийся от «повернуть влево»*«шаг вперёд».
И да, в первом приближении можно людям пояснить, что взятие дифференциала означает «превращение расстояния в скорость, а скорости в разгон», а взятие интеграла, наоборот, «превращение разгона в скорость, и, далее, скорости в расстояние». И найти много других доступных объяснений разным математическим феноменам в очевидных аналогиях с реальностью.
В этом разе автор статьи молодец, так как изыскивать способы вдолбить формальную логику в головы учащихся, заставить полюбить точные решения, искать красивую и уместную комбинацию инструментов для этого необходимо любыми действенными педагогическими способами.
Однако, нельзя забывать, и нельзя забывать в нужный момент преподавать, что математике завсегда плевать на приложение. Прикладники должны сами искать и выбирать правильные инструменты из склада инструментов.
Если точка будет внутри фигуры, то знак площади просто вернёт вам направление обхода вершин «против или по часовой стрелке» от основной точки.Потому что зря вы эту самую точку в интерпретацию включили. Площадь не зависит от того как мы ее считаем — так почему интерпретация ее знака должна зависеть от какой-то выбранной точки?
Если точка будет вне фигуры, то… Тут я затрудняюсь дать интерпретацию. Но я не затрудняюсь так же и не имея такой интерпретации.
Знак направленной площади зависит от направления обхода вершин. Все. Окончание «от основной точки» — лишнее.
Например, если рассматривать двумерную матрицу
То детерминанта — это площадь параллелограмма ниже:
Взято отсюда.
Когда читаю такие материалы, становится грустно за бесцельно прожитые годы в универе, где все было строго по букве доказательства, но очень далеко от реального мира.
Я тоже всегда стараюсь придумать интерпретацию, чтобы мозг мог "пощупать" идею.
Поэтому было легче с производными и интегралами — у них были хорошие геометрические и физические смыслы.
Тут есть только одна опасность, когда модель не может покрыть всю область определения идеи, и в некоторых моментах и подстановки, и интуиция будет давать сбой.
Об этом есть отличная книга В. Босс Интуиция и математика.
Очень рекомендую.
Кстати, его же серия "Лекции по математике" ставит своей целью помочь освежить и разобраться в математике тем, кто её когда-то проходил :)
Вот предисловие
Спасибо тебе Господи, что ты создал все нужное нетрудным, а все трудное — ненужным.
Сковорода
Для нормального изучения любого математического предмета необходимы, по крайней мере, 4 ингредиента:
- живой учитель;
- обыкновенный подробный учебник;
- рядовой задачник;
- учебник, освобожденный от рутины, но дающий общую картину, мотивы, связи, «что зачем».
До четвертого пункта у системы образования руки не доходили. Конечно, подобная задача иногда ставилась и решалась, но в большинстве случаев — при параллельном исполнении функций обыкновенного учебника. Акценты из-за перегрузки менялись, и намерения со второй-третьей главы начинали дрейфовать, не достигая результата. В виртуальном пространстве так бывает. Аналог объединения гантели с теннисной ракеткой перестает решать обе задачи, хотя это не сразу бросается в глаза.
«Лекции» ставят 4-й пункт своей главной целью. Сопутствующая идея — экономия слов и средств. Правда, на фоне деклараций о краткости и ясности изложения предполагаемое издание около 20 томов может показаться тяжеловесным, но это связано с обширностью математики, а не с перегрузкой деталями.
Необходимо сказать, на кого рассчитана книга. Ответ «на всех» выглядит наивно, но он в какой-то мере отражает суть дела. Обозримый вид, обнаженные конструкции доказательств, — такого сорта книги удобно иметь под рукой. Не секрет, что специалисты самой высокой категории тратят массу сил и времени на освоение математических секторов, лежащих за рамками собственной специализации. Здесь же ко многим проблемам предлагается короткая дорога, позволяющая быстро освоить новые области и освежить старые. Для начинающих «короткие дороги» тем более полезны, поскольку облегчают движение любыми другими путями.
В вопросе «на кого рассчитано» есть и другой аспект. На сильных или слабых? На средний вуз или физтех? Опять-таки выходит «на всех». Звучит странно, но речь не идет о регламентации кругозора. Простым языком, коротко и прозрачно описывается предмет. Из этого каждый извлечет свое и двинется дальше.
Наконец, последнее. В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать. Не потому, что изучаемые дисциплины чересчур разрослись, а потому, что новых секторов жизни стало слишком много. И в этих условиях мало кто готов уделять много времени чему-то одному. Поэтому учить всему — надо как-то иначе. «Лекции» дают пример. Плохой ли, хороший — покажет время. Но в любом случае, это продукт нового поколения. Те же «колеса», тот же «руль», та же математическая суть — но по-другому.
Кто-то эти лекции ругает, а кто-то хвалит.
Не считаю себя математиком (хотя в курсе было много, и сам по себе математику люблю), так что просто от себя имхо — мне понравились, хотя всё прочесть не успеваю.
Прочитав тему и комменты, я этого так и не понял. Я не математик, и, увы, не понимаю прелести науки ради науки, но с матрицами учился работать в институте, как и многие в этой теме. Поэтому интерес к матрицам у меня тоже привит, хоть и очень приземленный. Так может кто то прямым текстом написать, что, к примеру, умножение матриц используется в: обработке звука, распознавании образов, расчете траектории, в криптомайнинге, или чем то еще? Назовите востребованную задачу и/или алгоритмы, где это используется на практике.
Для затравки, есть такой тензорный процессор от гугл ссылка на вики, который якобы творит чудеса распознавания образов. Здесь вот пишут, что операции над матрицами — это будущее микропроцессоров, следующая ступень эволюции. Есть здесь специалисты, кто понимает в чем бенефит от использования матриц при распознавании образов? Или, скажем, при замене скалярного набора операций типового FPU на аналогичный набор операций, но с матрицами?
умножение матриц используется в...
Мне кажется, изначально всё-таки лучше понимать основную идею: скалярное произведение векторов даёт их корреляцию — то, насколько в целом (линейно говоря) похожи две последовательности чисел. А умножение матриц — это такой компактный способ скалярно перемножать вектора оптом (который хорошо распараллеливается). Ну а дальше и коню понятно, как оно работает, например, в задачах, где требуется сопоставление с образцом — хоть в распознавании сигналов, хоть в преобразовании Фурье.
«Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте — а поймёте потом» — не для меня»как же верно это сказано.
Спасибо за статью, я вот только с утра задался вопросом — а зачем матрицы? В большинстве случаев аналогичные вопросы на форумах вызывают реплики типа: иди учись, неуч. Или: да ты, видать, гуманитарий (что правда)… А по факту, как в ManInBlack «Он, конечно, повторил, но сам не понимает то, что он сказал»…
Но зачем?
И вот ваша статья, спасибо. День начинает проясняться :)
От действий над матрицами к пониманию их сути…