Comments 26
Если вы хотите окунуться поглубже в Тензорный анализ, то могу посоветовать учебник Б. Е. Победря «Лекции по тензорному анализу» 1986г.
Книга требует знаний в линейной алгебре, мат. анализе и аналитической геометрии. Из неё Я узнал про ковариантные и контрвариантные координаты, запись тензоров в Эйнштейновском виде, узнал, что скалярное произведение — это тоже тензор, и лично познакомился с тензором кривизны.
узнал, что скалярное произведение — это тоже тензор
Не лучшая рекомендация для книжки по тензорному анализу. Т. к. скалярное произведение — это скаляр. Для удобства, конечно, его можно считать тензором 0-ранга, как в части литературы 0 включают в натуральные числа, но это уже в сторону соглашений, т. к. скаляр инвариантен по преобразованиям базиса.
Насколько Я знаю, скалярное произведение в произвольном конечномерном пространстве задаётся матрицей.

(ei — базисный вектор)
Для декартовой системы координат — это единичная матрица. Для косоугольной — эта матрица будет другой. Но свойства у неё прямо как у тензора. Или Я что-то путаю?
gij — это метрический тензор, который используется для описания свойств пространства. В простейшем случае он константный. Через него выражается скалярное произведение векторов ai и bj как gij ai bj, которое является скаляром.
Скалярное произведение двух векторов, конечно, скаляр. Но скалярное произведение само по себе, как функция от двух векторов — частный случай билинейной функции, то есть, тензор ранга (0,2).
А в простейшем случае он не просто константный, а единичный (в правильно выбранной системе координат).
Вопрос в определениях. Если говорить о операции скалярного произведения — то да.

С ортонормированными системами координат тоже всё понятно, много хорошего случается)
Нет, (1,1) — это линейный оператор. (2,0) — бивектор (элемент поверхности), а (0,2) — билинейная функция или квадратичная форма.
Хм, я привык к определению тензора как функционала от нескольких векторов и ковекторов, и по такому определению скалярное произведение как раз оказывается (1, 1), разве нет?
Правильно. Первый индекс — число ковекторов, на которые действует тензор, второе — число векторов. Скалярное произведение действует на два вектора — оно (0,2). Оператор действует на вектор и даёт вектор, или можно сказать, что он действует на вектор и ковектор, и даёт скаляр (по формуле A(v,f)= f(A(v))). Поэтому он (1,1).
Вы правы, прошу прощения. У меня кочему-то лежало в памяти утверждение, что скалярное произведение это функционал над ковектором и вектором, а именно применение одного к другому.
Можете не воспринимать слишком близко, но на мой взгляд, вся статья сводится к «тензор — это геометрический объект».
Это как-то не серьезно. По двум причинам.

Во-первых, принято статьи для хабра делать более насыщенными информацией. С тем, что публиковалось в самом начале проекта это даже не сравнить.

Во-вторых, весь смысл тензоров в том, как проводятся с ними математические операции. Уже определение таких геометрических объектов стоит начинать с того, как изменяются компоненты тензора при замене базиса. А это изменение определяется компонентами матрицы перехода и её обратной. Затем привести примеры тензоров: векторы, линейные преобразования, линейные функции, билинейные функции (скалярное произведение, как частный случай). И неплохо было бы показать, зачем вообще тензоры нужны — как они помогают упрощать и унифицировать запись сложных математических выражений.

С учетом этого получилась бы нормальная статья.
Я абсолютно согласен. Но если вы внимательно прочитали начало моей заметки, то я там объясняю, что хочу дать некоторое введение к очень неплохой статье «Магия тензоров». Там как раз все начинается с математики, и мне показалось, что предварительно дать некоторое интуитивное понимание будет неплохо.
Картнок не хватает. Или даже анимированных GIF-ов.
В принципе, конечно, понятно, но на пальцах.
Ландау словно говорит: не пытайтесь обманывать природу, стараясь представить то, что представить нельзя; это недостойно, а кроме того, вы сами окажетесь обманутыми. Лучше доверьтесь разуму. Он вам поможет, он не откажет. Не надо профанации — обращения к представлениям и чувствам там, где они беспомощны. То, что есть достояние ума, а не воображения, надо постигать лишь умом.

Он говорил, что они [статьи Гейзенберга и Шредингера] дали ему не только наслаждение истинной научной красотой, но и острое ощущение силы человеческого гения, величайшим триумфом которого является то, что человек способен понять вещи, которые он уже не в силах вообразить.


Не нужны гифы. Не нужны картинки. Для некоторых тензоров возможно придумать естественное визуальное представление, но не для всех. Тезнор как таковой — абстратный объект, придуманный для того, чтобы обобщить математическое описание совершенно разнообразных вещей. Не надо его воображать и представлять себе.
А при чём тут гифы? Картинки? Визуальное представление? Зрительный канал, конечно, удобная штука, но это далеко не единственный способ что-то представить. Особенно если не стоит задачи передать это представление другим людям.
У тензора есть какие-то свойства. Его поведение на что-то похоже. Он связан с какими-то другими понятиями. Так что он вписан в ассоциативную сеть представлений, и о нём можно спокойно думать. Как о тензоре. Как объект, он не сложнее, чем, скажем, состояние многопоточной программы во время её выполнения. А ведь мы с ними работаем!
Вот здесь визуально и доходчиво. Но по-английски

www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw
А давайте теперь возьмем другую систему координат. Что изменится? А ничего! Температура в каждой точке пространства осталась таким же скаляром и при смене системы координат не поменялась.

То ли я не догоняю, то ли это некоторая некорректность в объяснении. Как же ничего не изменится? Как минимум координаты точек то изменятся из-за того, что изменилась система координат.
Хм. Я не придумал достаточно хорошего объяснения (наверное, автор сможет), но отмечу, что на просторах интернета есть другое хорошее объяснение, где скаляры — это количество объектов, а тензоры 1+ ранга — деньги. От того, будем ли мы рассчитываться в долларах, рублях, гривнах, йенах… и так далее — изменится лишь стоимость одного объекта в этой системе координат, однако количество задаётся скаляром, и уж точно неизменно, в чём бы мы не рассчитывались.
Я думаю, это ближе к истине. Не то чтобы я совсем не в курсе что такое тензоры, просто считаю что аналогию то автор неплохую придумал, но вот в объяснении явно существую, скажем корректно, спорные моменты.
Смысл при этом он в конце статьи правильно отразил. Это некоторая структура, позволяющая производить описание сложного объекта исключая влияние системы координат отсчёта. Ну по крайней мере я это так понимаю.
Как же ничего не изменится? Как минимум координаты точек то изменятся из-за того, что изменилась система координат.

Координаты точек изменятся, но температура в этих точках от поворота системы координат не изменится. Именно температура и есть тензор ранга (0,0)
Вот теперь всё очень понятно и корректно получилось! Я бы и в статье внёс это уточнение!
На самом деле тензоры — просто очень удобный язык для описания ряда явлений.

Например, в дифференциальной геометрии:


Это ковариантная производная тензора 2 ранга. От обычной производной она отличается тем, что учитывает изменение базиса при переходе в бесконечно близкую точку пространства — в обычных координатах-то он не изменяется, а вот в криволинейных (полярных, сферических и т.п.) — очень даже.
Для обычной (скалярной т.е.) функции ковариантная производная сводится к обычной, а вот для векторных и тензорных функций получается что-то другое…

Гijk — это символы Кристоффеля, не тензор, строго говоря (т.к. изменяется не по тензорному закону при смене базиса), они и описывают изменение базиса при переходе в другую точку криволинейных координат.

Собственно, запоминать этого монстра (производную, не Кристоффеля) совсем необязательно, т.к. благодаря всем тензорным сокращениям и упрощениям он легко выводится для любого ранга.

Слева — тензор 3 ранга (3 индекса). Справа — сумма объектов (необязательно тензоров), тоже 3его.
Но там же пять индексов!
Да.
Пять.
Диагональные одинаковые индексы (m) сворачиваются и исчезают.
Получается три.

Таким образом, для тензора n-го ранга мы просто пишем обычную производную и прибавляем n произведений символа Кристоффеля на тензор, по-разному переставляя индексы, чтобы они сворачивались. Причём для ковариантных индексов (тех, что пишутся снизу) берём со знаком минус.
Only those users with full accounts are able to leave comments. Log in, please.