Mathematics
Comments 26
+1
Если вы хотите окунуться поглубже в Тензорный анализ, то могу посоветовать учебник Б. Е. Победря «Лекции по тензорному анализу» 1986г.
Книга требует знаний в линейной алгебре, мат. анализе и аналитической геометрии. Из неё Я узнал про ковариантные и контрвариантные координаты, запись тензоров в Эйнштейновском виде, узнал, что скалярное произведение — это тоже тензор, и лично познакомился с тензором кривизны.
+2
узнал, что скалярное произведение — это тоже тензор
Не лучшая рекомендация для книжки по тензорному анализу. Т. к. скалярное произведение — это скаляр. Для удобства, конечно, его можно считать тензором 0-ранга, как в части литературы 0 включают в натуральные числа, но это уже в сторону соглашений, т. к. скаляр инвариантен по преобразованиям базиса.
0
Насколько Я знаю, скалярное произведение в произвольном конечномерном пространстве задаётся матрицей.

(ei — базисный вектор)
Для декартовой системы координат — это единичная матрица. Для косоугольной — эта матрица будет другой. Но свойства у неё прямо как у тензора. Или Я что-то путаю?
+3
gij — это метрический тензор, который используется для описания свойств пространства. В простейшем случае он константный. Через него выражается скалярное произведение векторов ai и bj как gij ai bj, которое является скаляром.
+1
Скалярное произведение двух векторов, конечно, скаляр. Но скалярное произведение само по себе, как функция от двух векторов — частный случай билинейной функции, то есть, тензор ранга (0,2).
А в простейшем случае он не просто константный, а единичный (в правильно выбранной системе координат).
+1
Вопрос в определениях. Если говорить о операции скалярного произведения — то да.

С ортонормированными системами координат тоже всё понятно, много хорошего случается)
0
Скалярное произведение — всё-таки тензор ранга (1, 1), нет?
+1
Нет, (1,1) — это линейный оператор. (2,0) — бивектор (элемент поверхности), а (0,2) — билинейная функция или квадратичная форма.
0
Хм, я привык к определению тензора как функционала от нескольких векторов и ковекторов, и по такому определению скалярное произведение как раз оказывается (1, 1), разве нет?
+3
Правильно. Первый индекс — число ковекторов, на которые действует тензор, второе — число векторов. Скалярное произведение действует на два вектора — оно (0,2). Оператор действует на вектор и даёт вектор, или можно сказать, что он действует на вектор и ковектор, и даёт скаляр (по формуле A(v,f)= f(A(v))). Поэтому он (1,1).
0
Вы правы, прошу прощения. У меня кочему-то лежало в памяти утверждение, что скалярное произведение это функционал над ковектором и вектором, а именно применение одного к другому.
+5
Можете не воспринимать слишком близко, но на мой взгляд, вся статья сводится к «тензор — это геометрический объект».
Это как-то не серьезно. По двум причинам.

Во-первых, принято статьи для хабра делать более насыщенными информацией. С тем, что публиковалось в самом начале проекта это даже не сравнить.

Во-вторых, весь смысл тензоров в том, как проводятся с ними математические операции. Уже определение таких геометрических объектов стоит начинать с того, как изменяются компоненты тензора при замене базиса. А это изменение определяется компонентами матрицы перехода и её обратной. Затем привести примеры тензоров: векторы, линейные преобразования, линейные функции, билинейные функции (скалярное произведение, как частный случай). И неплохо было бы показать, зачем вообще тензоры нужны — как они помогают упрощать и унифицировать запись сложных математических выражений.

С учетом этого получилась бы нормальная статья.
+6
Я абсолютно согласен. Но если вы внимательно прочитали начало моей заметки, то я там объясняю, что хочу дать некоторое введение к очень неплохой статье «Магия тензоров». Там как раз все начинается с математики, и мне показалось, что предварительно дать некоторое интуитивное понимание будет неплохо.
-2
Картнок не хватает. Или даже анимированных GIF-ов.
В принципе, конечно, понятно, но на пальцах.
+3
Ландау словно говорит: не пытайтесь обманывать природу, стараясь представить то, что представить нельзя; это недостойно, а кроме того, вы сами окажетесь обманутыми. Лучше доверьтесь разуму. Он вам поможет, он не откажет. Не надо профанации — обращения к представлениям и чувствам там, где они беспомощны. То, что есть достояние ума, а не воображения, надо постигать лишь умом.

Он говорил, что они [статьи Гейзенберга и Шредингера] дали ему не только наслаждение истинной научной красотой, но и острое ощущение силы человеческого гения, величайшим триумфом которого является то, что человек способен понять вещи, которые он уже не в силах вообразить.


Не нужны гифы. Не нужны картинки. Для некоторых тензоров возможно придумать естественное визуальное представление, но не для всех. Тезнор как таковой — абстратный объект, придуманный для того, чтобы обобщить математическое описание совершенно разнообразных вещей. Не надо его воображать и представлять себе.
0
А при чём тут гифы? Картинки? Визуальное представление? Зрительный канал, конечно, удобная штука, но это далеко не единственный способ что-то представить. Особенно если не стоит задачи передать это представление другим людям.
У тензора есть какие-то свойства. Его поведение на что-то похоже. Он связан с какими-то другими понятиями. Так что он вписан в ассоциативную сеть представлений, и о нём можно спокойно думать. Как о тензоре. Как объект, он не сложнее, чем, скажем, состояние многопоточной программы во время её выполнения. А ведь мы с ними работаем!
+2
не слушайте критиков! хорошее и наглядное объяснение. Спасибо!
+1
Вот здесь визуально и доходчиво. Но по-английски

www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw
+2
А давайте теперь возьмем другую систему координат. Что изменится? А ничего! Температура в каждой точке пространства осталась таким же скаляром и при смене системы координат не поменялась.

То ли я не догоняю, то ли это некоторая некорректность в объяснении. Как же ничего не изменится? Как минимум координаты точек то изменятся из-за того, что изменилась система координат.
+1
Хм. Я не придумал достаточно хорошего объяснения (наверное, автор сможет), но отмечу, что на просторах интернета есть другое хорошее объяснение, где скаляры — это количество объектов, а тензоры 1+ ранга — деньги. От того, будем ли мы рассчитываться в долларах, рублях, гривнах, йенах… и так далее — изменится лишь стоимость одного объекта в этой системе координат, однако количество задаётся скаляром, и уж точно неизменно, в чём бы мы не рассчитывались.
0
Я думаю, это ближе к истине. Не то чтобы я совсем не в курсе что такое тензоры, просто считаю что аналогию то автор неплохую придумал, но вот в объяснении явно существую, скажем корректно, спорные моменты.
Смысл при этом он в конце статьи правильно отразил. Это некоторая структура, позволяющая производить описание сложного объекта исключая влияние системы координат отсчёта. Ну по крайней мере я это так понимаю.
+3
Как же ничего не изменится? Как минимум координаты точек то изменятся из-за того, что изменилась система координат.

Координаты точек изменятся, но температура в этих точках от поворота системы координат не изменится. Именно температура и есть тензор ранга (0,0)
+1
Вот теперь всё очень понятно и корректно получилось! Я бы и в статье внёс это уточнение!
+2
На самом деле тензоры — просто очень удобный язык для описания ряда явлений.

Например, в дифференциальной геометрии:


Это ковариантная производная тензора 2 ранга. От обычной производной она отличается тем, что учитывает изменение базиса при переходе в бесконечно близкую точку пространства — в обычных координатах-то он не изменяется, а вот в криволинейных (полярных, сферических и т.п.) — очень даже.
Для обычной (скалярной т.е.) функции ковариантная производная сводится к обычной, а вот для векторных и тензорных функций получается что-то другое…

Гijk — это символы Кристоффеля, не тензор, строго говоря (т.к. изменяется не по тензорному закону при смене базиса), они и описывают изменение базиса при переходе в другую точку криволинейных координат.

Собственно, запоминать этого монстра (производную, не Кристоффеля) совсем необязательно, т.к. благодаря всем тензорным сокращениям и упрощениям он легко выводится для любого ранга.

Слева — тензор 3 ранга (3 индекса). Справа — сумма объектов (необязательно тензоров), тоже 3его.
Но там же пять индексов!
Да.
Пять.
Диагональные одинаковые индексы (m) сворачиваются и исчезают.
Получается три.

Таким образом, для тензора n-го ранга мы просто пишем обычную производную и прибавляем n произведений символа Кристоффеля на тензор, по-разному переставляя индексы, чтобы они сворачивались. Причём для ковариантных индексов (тех, что пишутся снизу) берём со знаком минус.
Only those users with full accounts are able to leave comments., please.