Comments 89
давно пора было освежить знания о тензорах!
ждем продолжения :)
P.S. очень хорошо и понятно пишете! спасибо.
Хотя в голове все равно всплывают сопряженные пространства, тензорные произведения, базисы и прочая фигня. И интерпретация этого дела на многообразиях, связность, символы Кристоффеля… Ведь и для математики всё это имеет большое и интересное значение.
Спасибо за статью, обязательно продолжайте!
Но вы упустили самое главное и я потерял мысль: с самого начала надо написать, зачем это нужно.
К сожалению, весь университетский курс этим страдает: заставляют втупую зубрить что-то со словами «потом разберетесь, годам к 35»
с самого начала надо написать, зачем это нужно
Учту это. Видимо главную мысль статьи мне пока не удалось сформулировать
Дело в том, что мы имеем дело с линейными операциями, поэтому верхнее положение индекса и не рассматривается здесь как показатель степени.
Если речь идет таки, например о квадрате компоненты, то пишут так
Во-вторых, вы как-то очень хитро поставили звездочку после скалярного умножения. Операция эрмитова сопряжения определена только для матриц — а результат скалярного умножения, внезапно, скаляр. Здесь надо поставить обычное комплексное сопряжение, а не эрмитово.
использована матрица А10 (как заявлено, это матрица перехода из косоугольной в прямоугольную СК)
Там написано так
Преобразование из прямоугольной системы координат в косоугольную выражается матрицей A01
что несомненно является допущенной мною опечаткой, так как матрица A01 — это матрица перехода из косоугольной в прямоугольную систему координат.
Спасибо, исправлено
Взял на себя смелость внести правку — вектор (1, 0), ковектор (0, 1), согласно с источнику .
А то при разборе литературы для подготовки второй части статьи возникли нестыковки литературы и википедии…
Позже, в университете, программа подготовки по моей специальности не предусматривала изучение тензорного исчисления, хотя малопонятный термин «тензор» всплывал довольно часто в некоторых специальных курсах. Например, было жутко непонятно, почему матрица, содержащая моменты инерции твердого тела гордо именуется тензором инерции.
Аналогичная ситуация сложилась у меня. Когда большая часть «Теоретиеской физики» в нашем институте была построена на тензорах, а курс матанализа данную тему обходил далеко стороной. В результате приходилось либо заучивать длинные ряды формул, либо воспринимать курс «Теорфиза» как шаманство. Ни то ни другое знаний и понимания предмета к сожалению не прибавляло.
Очень интересно будет попытаться разобраться в этом хотя бы сейчас, много лет спустя в Вашей помощью.
Почему-то думаю, что русский достаточен, чтобы отразить смысл, а латинизмы, которые повсеместно используются в научном мире, понимания не добавляют.
содержатся разделы более сложные или менее сложные для восприятия человеком.
Также пока формально не доказано, что абстрактная алгебра сложнее комбинаторики, теории чисел, арифметики или иных разделов. Нет определений сложности относительного самого человека. Чем в принципе определяется сложность того или иного раздела математики для человека? Количеством разнородных операций, описанием объектов?
Не представлено формальных доказательств того, что если человек способен понять один раздел, алгебры, то он не способен понять другой.
Тут от формализма придется отступить, так как формальными средствами не доказано, что подход используемый для описания самой математики является верным или всегда верным.
Математики обычно отвратительно нудно и скучно рассказывают свою тему по сравнению с физиками. Но за вторыми сложно успеть.
История математики кишит повторными открытиями одних и тех же явлений. Мне интересно лишь, изменится ли уровень знаний у выпускников, если изменить подход к преподаванию.
Ученые с многолетним опытом, конечно, не нуждаются в «математики на яблоках». Бесспорно.
Ещё забавнее была новость о том, что биологи в начале 2000-х открыли Cy у какого-то морского гада (забыл, какого именно) — т.е. биологи XXI века удивлялись тому, что твёрдо знали братья Райт.
Но все же отмечу еще один момент — достаточно быстро развивается информатика, появляется
очень много терминологии, буквально каждый день. Информатика, математика и физика теперь сильно пересекаются, где-то смешиваются, и смешивается очень много терминологии, термины дополняются новыми значениями и т.д. Если можно так сказать, то терминология в общенаучном контексте превращается в некий водоворот.
В XIX веке даже еще в XX — это еще были волны, где-то предсказуемые, где не очень.
информации для учебных целей. Думаю, это будет связано с требованиями самого времени, ведь и готовить и переподготавливать специалистов нужно довольно быстро. Во всяком случае быстрее, нежели раньше, а способы представления учебной информации пока, субъективно, к этому не очень раполагают. Думаю, это тема отдельных исследований, возможно, лингвистических по большей части. Может, найдется, наконец, интересное применение для психолингвистики.
По поводу того, является ли программирование расширением математики, сужением логики, не стану судить. Тут можно дискутировать на тему эмулируется ли математика на логическом устройстве или формальная логика реализуется на математическом.
Пишу комментарием, потому что статей много, так проще.
Косоугольные координаты переведем в прямоугольные координаты.
Воспринимать эту штуку очень сложно по рисунку 2. Для примера, косой угол между базисами рисунка 1 больше 90 градусов. Почему нет?
Пойдем дальше. Почему точка отсчета координат одна и та же. Два объекта, находящихся в пространстве, не вложенные один в другой, являются разными точками отсчета.
Возьмем практический пример. Все мы знаем металлическую метровую линейку с дырочкой. Дырочка нужна, чтобы линейку можно было повесить на гвоздик, на стене. Вот и скажем, что дырочка, будет началом вектора. Положим линейку на пол и посмотрим на нее.
Будем условно считать себя точкой отсчета координат. По правую руку будем откладывать ось X. Вперед, куда смотрят глаза, будет координата Y. Постояли, посмотрели на линейку. Сделали несколько шагов, немного повернулись, посмотрели на линейку. Вот вам две не соосные системы координат с разными точками отсчета. В уме то мы соображаем, что линейка осталась одного размера.
Теперь возвращаемся к математике и пытаемся на пальцах объяснить что такое тензор. И как влияет изменение точки отсчета на матрицу пересчета координат вектора.
Дальше еще интереснее и вкуснее. Тут один из комментаторов приводил теорию с трансформатором. Раскладывал его на катушки и переставлял их. Продолжим его исследования и одну из катушек поставим не вертикально, как все остальные, а на бок, чтобы она каталась по столу. Вот не задача, это уже не тривиальная задача в теории катушек.
Возвращаюсь к любимым линейкам и зайдем в подъезд многоэтажного дома. Положим одну линейку на несколько ступенек пролета, идущего вверх, а вторую на несколько ступенек пролета, идущего вниз. Смотрим на линейки и думаем, как бы применить тензор к разным векторам с одинаковой длиной. И пусть сухой математик объяснит, что это суть разные вектора, а не смещение координатных пространств относительно одного вектора (метровая линейка).
Одну палочку положим на гладкий стол и будем подносить конец другой палочки. Мы увидим, что палочка на столе будет поворачиваться обратной стороной магнита к палочке в нашей руке.
Усложним задачу. В руках у нас магнитная палочка, а на столе лежит катушка индуктивности, по которой не течет электрический ток. Подносим магнит. В катушке, под действием изменения внешнего магнитного поля начинает бежать электрический ток. Катушка становится магнитом и так же старается принять упорядоченное положение к магниту в нашей руке.
Изменение внешнего магнитного поля опять сказывается на образование заряда в катушке. И так действует до тех пор, пока катушка не займет определенного положения и магнитное поле для нее перестанет изменяться. В результате, в ней прекратиться выработка электрического тока и она станет инертной по отношению к магниту у нас в руке.
О таком не сложный примере, я говорил как о не самой простой задаче.
Стрелка амперметра или движение катушки диффузора динамика под действием тока внутри постоянного магнита, это одно. Я говорил о явлении наводящейся магнитной индукции.
Обратимся к азам катушек индуктивности. Для примера, можно посмотреть ресурс базовые формулы. В теории магнитной индукции нет места разности потенциалов и точечным зарядам. Указанный термин «распределенного электрического заряда» не очень то подходит для описания происходящих процессов.
И я, описывая пример воздействия изменяемого магнитного поля на катушку, не говорил, что она подключена к нагрузке.
Электрический ток есть, а электрического потенциала нет.
Ладно, предлагаю мир. Мы немного ушли от темы. Истина всегда где то рядом.
Всё остальное очень тяжело воспринимается для не подготовленного человека.
На мой взгляд, математика и физика должны быть интересными и познавательными. Если удастся объяснить тяжелые вещи на простых примерах, значит вас будут слушать раскрыв рот, а не зевать во всю площадь лица.
Людям проще воспринимать занимательную математику, нежели смотреть на сухие формулы тригонометрии.
Теперь возвращаемся к математике и пытаемся на пальцах объяснить что такое тензор.
Занимательная математика на пальцах — это может быть не на Хабре все-таки надо делать? Зачем тогда Хабр, если на нем будет все то же самое, что и везде?
(16) выражает связь между ковариантными и контравариантными компонентами вектора
(17) запись скалярного произведения через ковариантные компоненты одного вектора и контравариантные компоненты другого, да, по сути сокращенная запись для произвольного базиса (без использования правила Эйнштейна)
Вы пишете очень интересно, но, к сожалению, в оформление статьи вкрался один труднообнаруживаемый баг, который сводит все ваши труды на НЕТ: ваши формулы со временем «протухают», т.е. вместо красивой картинки с формулой со временем появляется сообщение:
Видимо, это сообщение появляется не сразу, а когда страница наберет достаточное количество просмотров, поэтому найти эту ошибку непросто.
Для исправления я могу порекомендовать надежный, но довольно трудоемкий путь: перегенерировать все формулы в картинки, загрузить эти картинки, например, на хабросторэдж и давать ссылки уже на эти картинки. Путь трудоемкий, но другого выхода я не вижу. Картинки генерируются со страницы редактирования формул по ссылке «Click here to Download Image (GIF)».
Буду рад, если вы возьмете на себя труд выполнить столь трудоемкую правку вашего текста
«latex.codecogs.com/gif.latex?OB_2&space;=&space;OA_1\cos\varphi&space;+&space;OA_2&space;=&space;a^1&space;\left|\vec{e}_1&space;\right|\cos\varphi&space;+&space;a^2&space;\left|\vec{e}_2&space;\right|&space;\quad&space;(4)»
Если в них заменить latex.codecogs.com/gif.latex? на latex.codecogs.com/gif.download?, то уже набранные формулы будут сохранены в виде gif-файла. Ручная правка, конечно потребуется, но ее будет значительно меньше
\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^3 a_i b^i \quad
habrastorage.org/getpro/habr/post_images/472/e80/ee0/472e80ee0a5a3e54cd9897c8acd24062.gif%5ET&space;%5Cmathbf%7Bg%7D%5E%7B(0)%7D%5C,%5Cmathbf%7BA%7D_%7B01%7D&space;=&space;%5Cmathbf%7Bg%7D%5E%7B(1)%7D&space;%5Cquad&space;(23)
Такое ощущение, что кто-то (бот?), заливая на habrastorage картинки, залил только часть формулы :)
Но мне не ясно как это сделать с ковариантными не переводя их в контравариантные? И мне интересно узнать зачем они нужны? Когда ковариантными координатами предпочтительнее пользоваться чем контравариантными?
Потерялась нумерация формулы (23), хотя дальше стоит ссылка на неё.
В формуле (24) перепутаны индексы систем координат: в левой части должен быть (1), а в правой (0).
Все-таки это математика, а не физика.
Я не математик, поэтому заранее прошу извинить, если мои замечания покажутся дилетантскими.
1. Не понял: зачем в (2) входят модули ортов? Длины(!) отрезков ОА1 и ОА2 равны проекциям вектора а на оси, соответственно это а1 и а2 (как и положено длинам, они скаляры, модули ортов тут излишни). Вектора ОА1 и ОА2 выражаются через орты так, как это показано в выражении (1) (оно и представляет собой сумму этих векторов, модули опять не при чём). Вывод: формула (2) неправильная.
2. То же замечание относится к (3) и (4): если это длина проекций на оси, то орты вообще надо убрать, если это векторы проекций, надо убрать знаки модуля у ортов.
3. Необходимо указать, что в числителе (5) и (6) стоят скалярные произведения, без этого смысл формул совершенно не понятен. Их результат, в самом деле, проекция вектора на ось (скаляр). Но зачем вообще в (5) и (6) нужен знаменатель? Знаменатель должен быть удалён. Вывод: формулы (5) и (6) необходимо пояснить и исправить.
4. Иллюстрация ко- и контравариантности в 1-ом параграфе – неудачная, так как совершенно не проясняет физику этих понятий. В частности, соотношение ко- и контравариантных базисов в СТО совсем не то, что в тексте. В таком случае, что из текста мы узнаём о месте ковариантного базиса в пространстве (евклидовом, СТО, ОТО) по отношению к контравариантному базису? Похоже, что ничего.
Не понял: зачем в (2) входят модули ортов? Длины(!) отрезков ОА1 и ОА2 равны проекциям вектора а на оси, соответственно это а1 и а2 (как и положено длинам, они скаляры, модули ортов тут излишни).
Э-э-э, нет. В том-то и фокус что при увеличении модуля базисных векторов (не ортов!) координаты a1 и a2 будут уменьшаться и наоборот. Пусть формула и выглядит странной и вообще лишней — ошибок в ней нет.
То же замечание относится к (3) и (4): если это длина проекций на оси, то орты вообще надо убрать, если это векторы проекций, надо убрать знаки модуля у ортов.
То же самое, нет там ошибок.
Необходимо указать, что в числителе (5) и (6) стоят скалярные произведения, без этого смысл формул совершенно не понятен. Их результат, в самом деле, проекция вектора на ось (скаляр). Но зачем вообще в (5) и (6) нужен знаменатель? Знаменатель должен быть удалён. Вывод: формулы (5) и (6) необходимо пояснить и исправить.
То что в числителе скалярные произведения — и так очевидно, используется же общепринятое обозначение для него. А зачем знаменатели — см. прошлый пункт.
Иллюстрация ко- и контравариантности в 1-ом параграфе – неудачная, так как совершенно не проясняет физику этих понятий.
Это математические понятия, какая у них может быть физика?
В таком случае, что из текста мы узнаём о месте ковариантного базиса в пространстве (евклидовом, СТО, ОТО) по отношению к контравариантному базису?
Это ж вектора, причём тут вообще место?
1. Всё-таки остаюсь при своём мнении: формулы (1) и (2) «не стыкуются» между собой. В формуле (1) е1 и е2 – это именно орты, то есть, единичные базисные вектора, задающие масштаб вдоль соответствующей оси. Произведения проекций вектора а (а1 и а2, скаляров) и ортов е1 и е2 задают векторы ОА1 и ОА2. В сумме векторы ОА1 и ОА2 дают (по правилу параллелограмма) исходный вектор а, что и отражает формула (1).
В таком случае в числителе (5) е1 тоже орт, и при скалярном произведении вектора а на единичный вектор (орт) мы получаем точное значение проекции а на ось (ОВ1, скаляр). Поэтому знаменатель избыточен.
Однако в целом ход рассуждений автора, по-моему, правильный. Если всё подкорректировать, в итоге всё равно должен получиться метрический тензор (11).
2. Математика описывает количественные взаимосвязи и законы природы в окружающем нас реальном мире, в отрыве от него она не существует. Поэтому рискну утверждать, что любому абстрактному математическому объекту можно найти физическую иллюстрацию, пусть даже не менее абстрактную (типа десятимерного пространства). Автор и сам не ограничивается формулами, а сопровождает их рисунками – это и есть физическая (геометрическая) интерпретация. Конкретно: автор указал на место ковариантного базиса в косоугольных координатах (хотя и не акцентировал этот момент). Где он локализуется в СТО, известно. Если бы уважаемые математики рассказали нам, где он прячется в ОТО, а потом обобщили на все «случаи жизни», они сильно облегчили бы жизнь всем остальным: по-моему, непонимание тензорного исчисления (в частности, ковариантности, свёртки, «жонглирования» индексами и т. п.) объясняется именно отсутствием понятных физических интерпретаций. Поэтому всё сказанное здесь не «философия», а самая что ни на есть «проза жизни». А вопрос остаётся: какой смысл в очередной раз излагать тензорное исчисление без «физики»?
В формуле (1) е1 и е2 – это именно орты, то есть, единичные базисные вектора, задающие масштаб вдоль соответствующей оси.
Нет. В формуле (1) е1 и е2 — вектора произвольного базиса. Они не обязаны быть единичными!
Конкретно: автор указал на место ковариантного базиса в косоугольных координатах (хотя и не акцентировал этот момент). Где он локализуется в СТО, известно. Если бы уважаемые математики рассказали нам, где он прячется в ОТО
Он не "локализуется" и не "прячется" нигде, это инструмент который, при желании, можно применить где угодно.
Кстати, ковариантных базисов не бывает. Бывают ковариантные координаты в некотором базисе.
Уважаемый mayorovp!
1. В моём понимании базисный вектор – это «стрелка», уходящая за границы видимой Вселенной. Он не имеет количественного измерения и по этой причине не может входить в уравнения типа (1), описывающего количественные взаимосвязи. В уравнениях типа (1) могут фигурировать только орты.
2. «Ковариантный базис» является синонимом «дуального базиса». Само название дуального базиса говорит о том, что он противопоставляется некоему исходному базису – контравариантному. Впрочем, в математике противопоставление этих базисов чисто условное, их можно менять местами. (В этом с Вами следует согласиться). Но в любом случае это не один базис, это разные базисы. Иллюстрация: в СТО ко- и контравариантный базисы совершенно разные, у них совпадают только временнЫе координатные оси.
3. Здравый смысл заставляет не допускать абсолютной уверенности в собственной правоте, поэтому хотелось бы услышать мнение автора по обсуждаемым вопросам.
Уважаемый dfreev! Вы сами написали, что вы — не математик. Так почему вы пытаетесь перекрыть своим представлением не-математика математическое определение?
А говорит это определение, что базисом называется линейно независимый набор векторов, с помощью линейных комбинаций которых можно представить любой другой вектор. Единичности размеров векторов определение не требует, как бы вам не хотелось иного.
Если вы физик, то можете считать что базисные вектора задают ещё и единицы измерения.
Уважаемый автор, читаю текст:
Выражение (12) дает связь между ковариантными и контрaвариантными координатами вектора, определяемую лишь видом матрицы g, зависящей от длин взаимного расположения базисных векторов.
Мне кажется, что фраза "зависящей от длин взаимного расположения базисных векторов" звучит бессмысленно. Что такое "длина взаимного расположения"? Учитывая, что элементами матрицы являются скалярные произведения векторов, возможно вы имели в виду "от длин и взаимного расположения базисных векторов"?
В формуле (1.21) нельзя произвести умножение матриц, т.к.
при умножении число столбцов левой матрицы д.б. равно числу строк правой матрицы,
a и в - матрицы столбцы контрвариантных координат,
g - матрица 3х3.
Никак не получается, хоть начинать с a на g, хоть с g на b. Да и в матрицах закон ассоциативности действует.
Магия тензорной алгебры: Часть 1 — что такое тензор и для чего он нужен?