Programming
May 2015 21

Рекуррентное соотношение Мюллера: проблемы с округлением чисел с плавающей точкой

Original author: Lincoln Atkinson
Translation
Некоторое время назад я натолкнулся на упражнение, которое выглядит не так уж и сложно:

Пусть последовательность xn определена так:

посчитайте x30.

Это не так уж и трудно закодировать, возможно реализовав xi как рекурсивную функцию. С обычными числами с плавающей запятой двойной точности, по мере увеличения i, результат красиво сходится к 100. Супер!

К сожалению, 100 даже близко не является правильным ответом. На самом деле последовательность сходится к 5.

Проблема


Эта последовательность известна под именем «Рекуррентное соотношение Мюллера» и синтезирована специально для демонстрации того, как быстро и драматически ошибки округления чисел с плавающей запятой приводят к катастрофическим результатам, при правильных (ну, неправильных) условиях. В этой работе (pdf) в деталях рассматриваются различные опасности округления, в частности и эта последовательность (стр. 14). Другое описание проблемы можно увидеть здесь (pdf).

Думаю, что многие программисты, включая меня, осознают, что математика чисел с плавающей запятой может пойти не так в некоторых ситуациях, но отмахиваются от проблемы, считая, что это может произойти только если в вычислениях участвуют очень большие или очень маленькие числа, либо когда накапливается огромное число ошибок. Это упражнение с невинно выглядящими константами и небольшим количеством итераций прекрасно демонстрирует, что ошибки округления могут иметь существенное влияние даже помимо экстремальных чисел. В данном случае нестабильность неподвижной точки 5 приводит к тому, что даже небольшие ошибки значительно меняют результат.

Я больше ничего не могу добавить, но думаю, что этой проблемой стоит поделиться.

Вычисление корректного результата


Мы можем сравнить первые сто значений последовательности между обычными числами с плавающей запятой и арифметикой с произвольной точностью с помощью короткой программы на Mathematica. Мы используем удобный синтакс мемоизации Mathematica, так что вычисления происходят довольно быстро даже для 100 и более итераций.

f[y_z_:= 108 - (815 - 1500/z)/y;
 
xExact[0= 4;
xExact[1= 17/4;
xExact[n_:= xExact[n] = f[xExact[n-1], xExact[n-2]];
 
xFloat[0= 4;
xFloat[1= 4.25;
xFloat[n_:= xFloat[n] = f[xFloat[n-1], xFloat[n-2]];
 
TableForm[
 Table[{i, N[xExact[i], 20], N[xFloat[i], 20]}, {i, 0100}],
 TableHeadings ->
    {None, {"i""x[i] \"exact\"""x[i] floating point"}}
Результаты:
i     x[i] "exact"             x[i] floating point
----------------------------------------------------
0     4.0000000000000000000    4.0000000000000000000
1     4.2500000000000000000    4.25
2     4.4705882352941176471    4.47059
3     4.6447368421052631579    4.64474
4     4.7705382436260623229    4.77054
5     4.8557007125890736342    4.8557
6     4.9108474990827932004    4.91085
7     4.9455374041239167248    4.94554
8     4.9669625817627005987    4.96696
9     4.9800457013556311613    4.98004
10    4.9879794484783922601    4.98791
11    4.9927702880620680975    4.99136
12    4.9956558915066340266    4.96746
13    4.9973912683813441129    4.42971
14    4.9984339439448169190    -7.81676
15    4.9990600719708938678    168.943
16    4.9994359371468391480    102.04
17    4.9996615241037675378    100.1
18    4.9997969007134179127    100.005
19    4.9998781354779312492    100.
20    4.9999268795045999045    100.
21    4.9999561270611577381    100.
22    4.9999736760057124446    100.
23    4.9999842055202727079    100.
24    4.9999905232822276594    100.
25    4.9999943139585595936    100.
26    4.9999965883712560237    100.
27    4.9999979530213569080    100.
28    4.9999987718123113300    100.
29    4.9999992630872057846    100.
30    4.9999995578522583059    100.
31    4.9999997347113315242    100.
32    4.9999998408267904691    100.
33    4.9999999044960712411    100.
34    4.9999999426976416502    100.
35    4.9999999656185845961    100.
36    4.9999999793711506158    100.
37    4.9999999876226903184    100.
38    4.9999999925736141727    100.
39    4.9999999955441684970    100.
40    4.9999999973265010958    100.
41    4.9999999983959006566    100.
42    4.9999999990375403937    100.
43    4.9999999994225242361    100.
44    4.9999999996535145416    100.
45    4.9999999997921087250    100.
46    4.9999999998752652350    100.
47    4.9999999999251591410    100.
48    4.9999999999550954846    100.
49    4.9999999999730572908    100.
50    4.9999999999838343745    100.
51    4.9999999999903006247    100.
52    4.9999999999941803748    100.
53    4.9999999999965082249    100.
54    4.9999999999979049349    100.
55    4.9999999999987429610    100.
56    4.9999999999992457766    100.
57    4.9999999999995474659    100.
58    4.9999999999997284796    100.
59    4.9999999999998370877    100.
60    4.9999999999999022526    100.
61    4.9999999999999413516    100.
62    4.9999999999999648110    100.
63    4.9999999999999788866    100.
64    4.9999999999999873319    100.
65    4.9999999999999923992    100.
66    4.9999999999999954395    100.
67    4.9999999999999972637    100.
68    4.9999999999999983582    100.
69    4.9999999999999990149    100.
70    4.9999999999999994090    100.
71    4.9999999999999996454    100.
72    4.9999999999999997872    100.
73    4.9999999999999998723    100.
74    4.9999999999999999234    100.
75    4.9999999999999999540    100.
76    4.9999999999999999724    100.
77    4.9999999999999999835    100.
78    4.9999999999999999901    100.
79    4.9999999999999999940    100.
80    4.9999999999999999964    100.
81    4.9999999999999999979    100.
82    4.9999999999999999987    100.
83    4.9999999999999999992    100.
84    4.9999999999999999995    100.
85    4.9999999999999999997    100.
86    4.9999999999999999998    100.
87    4.9999999999999999999    100.
88    4.9999999999999999999    100.
89    5.0000000000000000000    100.
90    5.0000000000000000000    100.
91    5.0000000000000000000    100.
92    5.0000000000000000000    100.
93    5.0000000000000000000    100.
94    5.0000000000000000000    100.
95    5.0000000000000000000    100.
96    5.0000000000000000000    100.
97    5.0000000000000000000    100.
98    5.0000000000000000000    100.
99    5.0000000000000000000    100.
100   5.0000000000000000000    100.

+58
31.4k 208
Comments 116