Гармонические колебания

У спектра чистого лампового синуса шум что ли на уровне -48дБ? Или что это?

Я правильно понял, если сложить синусы 25, 75, 125 и так далее до частоты дискретизации, при этом амплитуда обратно пропорциональна частоте, то мы получим на выходе меандр?

Спасибо за статью!
Дошел до

Меандр курильщика

и сразу проскролил ставить плюс :-))

Вы хорошо пишите, с юмором и просто. Приятно читать!

И все-же проскакивают фразочки, которые внезапно заставляют вернуться из мира пушистых математических котиков в суровый реальный мир и напрячь корку, как то:

Величина, выраженная в децибелах, численно равна десятичному логарифму безразмерного отношения физической величины к одноимённой физической величине, принимаемой за исходную, умноженному на десять

Большое спасибо за статью! Буду с радостью ожидать продолжение!

Могу порекомендовать для тех, кто больше заинтересовался компьютерной музыкой и её оцифровкой книгу Curtis Roads — The Computer Music Tutorial.
В интернете есть в не очень хорошем качестве, но читать можно и нужно.
Пусть слово «Tutorial» не вводит в заблуждение — это талмуд размером в 1200 страниц, в котором очень подробно объясняются все алгоритмы генерации, параметры звука, а в конце есть дополнения, в которых подробно рассматривается математическя сторона преобразований Фурье и прочих особенностях цифрового звука.

кстати к теме обработки сигналов, на курсере скоро стартанет курс по сабжу https://www.coursera.org/course/dsp

Сергиенко, кстати, вполне понятно пишет по обработке сигналов.
P.S. В данном случае спектрограммы красивее смотрелись бы в линейном масштабе по оси Y. А то в логарифмическом вылезает всякая дрянь.

Пост годный, но надо в него добавить как можно больше примеров восхитительной фильтрации!
Фильтрация изображений, коммуникационных сигналов, сигналов радаров и т.п. -)
В духе до и после. Так слепой, а так всевидящий!

Тут гораздо интереснее «приземлить» математику на реальную жизнь.
Например:
говорят, что «тёплый ламповый звук» обусловлен тем, что ламповые усилители вносят искажения в чётных гармониках, в отличие от полупроводниковых, которые гадят на нечётных.
Что это значит для художников?
Да вот то, что ламповый усилитель «сглаживает» и «скругляет» форму сигнала. А полупроводниковый наоборот, делает её более «угловатой», похожей на меандр.
А что то же самое значит для музыкантов?
То, что ламповый усилитель к чистому звуку добавит октавы (каждая целая октава = удвоение частоты).
А полупроводниковый туда добавит квинты (каждая квинта = полторы частоты).

Ещё интересно: на очень высоких нотах сложно различить тембры различных инструментов.
А это на самом деле прямое следствие теоремы Котельникова. Тембр — это смесь разных гармоник (у подавляющего большинства инструментов наиболее выражен основной тон, т.е. первая гармоника).
Если взять на любом инструменте, скажем, «ля» шестой октавы — это частота 14080 герц в первой гармонике. А если возможность человеческого слуха ограничена, скажем 30кГц — это значит, что фактически для звуков с частотой от 15кГц до 30кГц он услышит только первую гармонику. А все остальные, которые как раз и передают тембр, окажутся отрезанными естественным фильтром ВЧ.

Почему-то который раз не раскрывается зачем вообще это все в простым смертным программистам. А смысл довольно прост (простите дилетанта если что):

Очень много нужных и полезных преобразований сводится к свертке. Свертка — это когда есть input[1024], есть filter[100], output считаем как-то так:

for(int x = 0; x < 1024; x++) {
  sum = 0;
  for(int n = 0; n < 100; n++) {
    sum += input[x] * filter[x + n]
  }
  output[x] = sum
}

Примеры таких преобразований — фильтры blur и sharpen для картинок, всякие эквалайзеры и реверберация для звука, и еще много чего.

В тупую (как выше), свертка требует O(sizeof(input) * sizeof(filter)) операций. Грубо говоря для blur-а 3x3 пикселя еще терпимо, а при 100x100 будет уже печально.

Чтобы стало побыстрее, используют немного матана:

Во-первых свертка преобразованного в фурье фильтра с преобразованным в фурье сигналом — это перемножение каждого с каждым элементов входного массива и фильтра. Это как ручки на эквалайзере примерно — умножаем ручку для определенный частоты, на частоту входа. Т.е. если есть input и filter в фурье-пространстве, мы можем делать свертку за O(N).

Во-вторых был придуман алгоритм быстрого преобразования фурье, который действует за N*Log(N) от размера входного сигнала. Обратное преобразование вообще делается за O(N)

Короче это все применяется чтобы из O(N*M), получить O(N*log(N)). Скажем blur-у после такого становится все равно какого он радиуса — будет считаться с одинаковой скоростью.

Но не все так гладко: фурье-преобразование математически правильно делать только на бесконечном периодическом сигнале. Поэтому сверху надо еще немного матана в виде оконных функций — это уберет всякий совсем уж мусор, но совсем честно оно работать не станет все равно.

Я даже боюсь представить, где используется комплексное преобразование Фурье

Странно видеть такую фразу в статье, где в первом предложении фигурирует аббревиатура «ЦОС». Вот в этой самой ЦОС и используется, направо и налево, причем как прямое, так и обратное.

Вообще говоря, в общем случае нельзя напрямую брать БПФ случайного сигнала. Согласно теореме Хинчина-Колмогорова для оценки спектральной плотности мощности случайного сигнала, надо взять БПФ от автокорреляционной функции.

При измерении напряжений и токов для децибелов берут множитель 20, а АЦП и ЦАПы я так понимаю регистрируют напряжение, а не мощность, тут точно должно быть 10?

Самое лучшее в статье — это анимация.

Спасибо за статью, мне тоже нравится эта тема. За примерами применения далеко ходить не надо, это ближе чем кажется. Даже балансировка колёс без этого не обходится ))

Когда-то проходил курс www.coursera.org/course/dsp
Он скоро опять начнётся, в конце апреля.

Мне понравилось то, как они подходят к сути Преобразования Фурье. Не так как сам Фурье, а через линейную алгебру. Мне это здорово сэкономило усилия, т.к. с тригонометрией дружу плохо и вообще не математик.

Эта тема особенная, потому что как только основные вещи становятся понятными, тут же появляется множество вопросов о границах применимости и разных инженерных трюках. Применение этого инструмента сродни маленькой науке внутри науки (математики).