10 January 2014

Метод Монте-Карло в физике элементарных частиц

ProgrammingAlgorithmsMathematics
Данная статья посвящена широко известному методу Монте-Карло, который основан на теории вероятностей и математической статистике, в физике элементарных частиц. Так же, я расскажу, как можно разыгрывать дискретные и непрерывные случайные величины методом Неймана, а на закуску посмотрим, как применять ММК в ФЭЧ.

Сразу замечу, что моделирование будет производится в САВ WM, которую я применял (не так давно) в своей первой статье.

Дискретные случайные величины


Давайте немного поговорим о теории вероятностей и математической статистике на примере модели из двух игральных костей. Так, перед нами стоит задача разыграть типовую ситуацию за игральным столом в казино: «Разыграть некоторое количество событий одновременного бросания двух кубиков с числами. По результатам розыгрыша найти количество одновременного попадания чисел 2 и 4». Кроме этого, мы ещё обременим себя обработкой исключений, дабы в этой простой программе была изюминка.
Бросание 2-х кубиков

Как мы видим, всё достаточно прозрачно, а основную часть кода занимают эти самые эксепшены… Посмотрим на результат работы программы:
Клац



Заметим, что «тройное» выпадение 2-х и 4-х на выборку из 10-ти событий — эксклюзивный случай, с очень маленькой вероятностью.
Таким образом, мы разыграли псевдослучайную дискретную величину средствами WM по алгоритму приведённому ниже.
Алгоритм
  1. Необходимо разбить интервал (0,1) на n — интервалов, длины которых равны соответственно.
  2. Разыгрываем значение стандартной случайной величины (Стандартным ПГСЧ).
  3. Проверяем условие попадания значения в i-тый интервал длинной : .
    Если неравенство верно, то приписываем случайной величине χ значение, соответствующее данному интервалу т.е.
  4. При необходимости повторяем шаги 1 − 3 несколько раз с помощью новых значений стандартной величины γ для получения других значений дискретной случайной величины с законом распределения вероятностей.


Метод Неймана


Далее обратимся к разыгрыванию непрерывных случайных величин с требуемой плотностью вероятностей, как и обещал, методом Неймана. Кроме метода Неймана есть ещё методы Супперпозици и Обратной функции, но рассказ о них, не цель статьи. И так, поставим перед собой очередную задачу: «Методом Неймана разыграть случайную величину с плотностью распределения: на интервале х (0,1)».
Обычно, физики такие вещи не автоматизируют, а всё вычисляют заранее, потом просто прогоняют по циклу и получают выборку. Я же, как физик XXI века, имея в своём арсенале мощные системы компьютерной алгебры, попытался автоматизировать процесс. Посмотрим, что из этого получилось.
Нейман

Видим, что всё достаточно просто, так же как и в книге. Единственное, что бы хотелось отметить, что для монотонно возрастающих или убывающих функций, которыми может быть представленная требуемая плотность вероятностей типа кварк-антикваковой анигиляции, организовать поиск оптимального значения для константы Неймана без ексепшенов, скорей всего не получится т.к. значения на концах отрезков будут всегда возрастать, что будет отмечаться предупреждениями WM и, как следствие, встроить в программный блок его будет нельзя. Константа нормировки с вычисляется из условия

Алгоритм Неймана
Данный метод основан на следующей теореме из математической статистики и теории вероятностей. Пусть -случайная величина, с плотностью распределения p(x) ≤ c (с — некоторое положительное число) на интервале a < x < b, тогда если и — независимые случайные величины и , , то случайная величина , определяемая условием:, если и имеет плотность вероятности равную p(x).
  1. Получаем пару значений , с помощью ПГСЧ.
  2. С их помощью строим два случайных числа равномерно распределенное на интервале (a,b) и равномерно распределенное на интервале (0,c)
  3. С помощью построенных чисел проверяем выполнение условия
  4. Если условие выполняется, то считаем, что значение случайной величины равно , если условие не выполняется,
    то повторяем процедуру начиная с шага 1.


Теперь генерируем 10 киллособытий нашим методом и строим гистограмму, попутно сравнивая её с требуемой плотностью вероятностей .

Как видим, результат превосходит все ожидания! Эффективность такого подхода это вероятность того, что случайное значение полученное с помощью набора стандартных случайных чисел ( , ,...,) будет принято, а не отброшено. Для метода Неймана несложно найти, что

Комптоновское рассеяние фотонов


Теперь перейдём к заключительной части этой статьи и посмотрим как же работает ММК в ФЭЧ. Для этого не полезем в дебри, а смоделируем процесс рассеяния гамма-кванта на электроне, известного ещё всем со школьной скамьи. Дабы не изобретать велосипед зайдём в гости к ЦЕРНу, а точнее в Geant4 раздел и без зазрения совести спишем у них в мануале по физике разложение Батлера (да, да, то самое, которое я пропустил) и добавим формулы для расчёта энергий и косинусов углов вторичных частиц в ЛСК. Я не буду приводить выкладки и заниматься копипастом т.к. всё будет в алгоритме.
Комптоновское рассеяние

Дифференциальное сечение данного процесса описывается формулой Клейна-Нишины — это именно та плотность вероятностей, которая нам нужна:

Проведём 10 килособытий и построим энергетические и угловые распределения вторичных частиц для значения двух энергий 0.5 и 1.5 МэВ соответственно.


Как мы можем прикинуть на пальцах, всё очень хорошо считается и соответствует кинематике процесса, а следовательно и метод очень хороший.

Заключение


Оказывается, что всё достаточно просто, главное разобраться.Хотелось бы рассказать больше, но я думаю большой объём будет только утомлять, кому будет интересно, думаю, поищет литературу — здорово написано в мануале, который я стянул у ЦЕРНа, а ещё лучше у наших преподавателей в книгах. Все вычисления проводились в естественной системе исчисления и лабораторной системе координат.

Литература


  1. geant4.web.cern.ch/geant4/G4UsersDocuments/UsersGuides/PhysicsReferenceManual/html/PhysicsReferenceManual.html
  2. Андреев, В. В. “Метод Монте-Карло в физике элементарных частиц”. Учебная программа спецкурса, 2005. — 15 с.

Ссылки


Использовалась Wolfram Mathematica 9.0
  1. .nb Кубики
  2. .nb Нейман
  3. .nb Комптон
Tags:Wolfram mathematicaстатистикавероятностьМонте-КарлоММК
Hubs: Programming Algorithms Mathematics
+25
23.5k 122
Comments 27