Pull to refresh

Критический взгляд на аттрактор Лоренца

Mathematics

1. Об аттракторе Лоренца


image

Эдвард Нортон Лоренц (1917 – 2008) является основателем теории хаоса, очень популярной в науке на сегодняшний день. Он учился в колледже Дартмут штата Нью-Гемпшир США и Гарвардском университете в Кембридже. Во время Второй мировой войны служил метеорологом в авиационном корпусе армии США, потом до конца своих дней работал профессором в Массачусетском технологическом институте.

В 1963 году в журнале «Journal of the Atmospheric Sciences» вышла его статья «Deterministic Nonperiodic Flow» (русский перевод: Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение // Странные аттракторы. — М.: Мир, 1981, с. 88-117), заложившая не только основы теории хаоса, но и изменившая представления о моделировании погодных явлений. В этой работе из системы уравнений Навье-Стокса впервые была получена нелинейная автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка (динамическая система), описывающая движение воздушных потоков в плоском слое жидкости постоянной толщины при разложении скорости течения и температуры в двойные ряды Фурье с последующем усечением до первых-вторых гармоник:

(1) image

где s, r и b — некоторые положительные числа, параметры системы. Обычно исследования системы Лоренца проводят при s = 10, r = 28 и b = 8/3 (классические значения параметров).

Вообще, теория хаоса — раздел математики, изучающий поведение детерминированных динамических систем, где решения имеют достаточно сложную структуру, поэтому кажется, что во времени они ведут себя случайным образом. Детерминированная система — система, уравнения движения, параметры и начальные условия которой известны и не являются случайными (Мун Ф. Хаотические колебания. — М.: Мир, 1990).

Динамическая система (1) также возникает и в других процессах:

1. Конвекция в тороидальной трубе (Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. — М: ЛИБРОКОМ, 2010, с. 454-455);
2. Одномодовый лазер (Покровский Л.А. Решение системы уравнений Лоренца в асимптотическом пределе большого числа Релея. I. Система Лоренца в простейшей квантовой модели лазера и приложение к ней метода усреднения // Теоретическая и математическая физика, 1985, т. 62, №2, с. 272-290);
3. Осциллятор с инерционным возбуждением (Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. — М: ЛИБРОКОМ, 2009, с. 288-295).

Для любого решения системы Лоренца существует такой момент времени, когда соответствующая фазовая траектория навсегда погружается в сферу фиксированного радиуса. Поэтому существует предельное множество — аттрактор Лоренца, — к которому притягиваются все траектории динамической системы при image (Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.: Едиториал УРСС, 2004, с. 357-359). Таким образом, аттрактор определяет поведение решений системы (1) на больших отрезках времени.

Из-за отсутствия точных методов решения нелинейных динамических систем общего вида для анализа структуры аттрактора часто применяют численные методы такие, как, например, сочетание явной схемы Эйлера с центрально-разностной схемой, Адамса, использование старших производных, а также Рунге-Кутта 4-ого порядка. В случае классических значений параметров системы наблюдается неустойчивость ее решений, поскольку положения равновесия системы имеют седловой тип. Это ограничивает применение указанных методов, поскольку растет общая ошибка с увеличением отрезка интегрирования. Таким образом, небольшие изменения в начальных условиях системы (1) (т.е. атмосферы) могут привести со временем к значительным последствиям.

В 70-х гг. 20-ого века Гукенхеймер, Уильямс и Йорке на основе результатов численных экспериментов сформулировали гипотезу о структуре аттрактора Лоренца при классических значениях параметров системы, однако, соответствие этой гипотезы структуре притягивающего множества системы (1) строго не доказано. В 2000 году Стивен Смейл составил список из 18 наиболее значительных математических проблем 21-ого века. Проблема структуры аттрактора Лоренца была включена в этот перечень под номером 14. Считается, что она была решена Уориком Такером в 2002 году при помощи интервальной арифметики, но многие математики так и не приняли его доказательства хотя бы потому, что строго не показано наличие периодических решений в системе (1).

В литературе, посвященной численному исследованию системы Лоренца при классических значениях ее параметров, очень часто делаются заключения о структуре аттрактора на основе данных, полученных из вычислительного эксперимента (например, что аттрактор содержит циклы). При этом нет достаточных обоснований о выборе шага, с какими типами вещественных чисел приходилось работать, и на каком отрезке времени производились расчеты.

image
Рис. 1. Дуга траектории, построенная на отрезке времени [0;6.827] для x(0)=13.41265629, y(0)=13.46430003, z(0)=33.46156416.

По теореме Биркгофа (Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.: Едиториал УРСС, 2004, с. 402) аттрактор Лоренца содержит рекуррентные траектории, а каждое рекуррентное движение устойчиво по Пуассону. Это означает, что найдутся сколь угодно большие значения моментов времени, что точка траектории системы оказывается в любой окрестности своего начального положения. Таким рекуррентным движением может быть и цикл, но делать вывод об этом, исходя из найденного возврата траектории в некоторую окрестность начальных условий, нельзя. Как показали расчеты (рис. 1), в системе Лоренца динамика поведения решений на аттракторе достаточно сложна — рекуррентные траектории, содержащиеся в нем, могут, например, описываться почти периодическими решениями или иметь более сложную структуру. Мной построен пример неавтономной системы с таким поведением решений.

2. Моделирование динамики системы Лоренца


image
Рис. 2. Схема генератора колебаний, описывающих динамику системы Лоренца.

Для генерации сигналов (хаотических колебаний), описывающих траектории на аттракторах динамических систем с определенными видами нелинейностей правых частей, на практике также применяют физическое моделирование с помощью электрических схем /или аналоговых вычислительных машин/ (Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. — М.: Физматлит, 2002).

Рассмотрим электрическую схему генератора колебаний, представленную на рис. 2, как альтернативу численному моделированию. Поскольку система Лоренца имеет третий порядок, то для создания динамики изменения напряжений в цепи необходимы три интегратора на базе операционных усилителей, поскольку с дифференциаторами связаны проблемы шума. При этом для построения схемы и записи интегральных уравнений использовалась базовая схема включения современного аналогового умножителя MPY634, приведенная на рис. 3 в официальной документации производителя микросхемы. Имеем:

image

где image, image и image — мгновенные значения напряжений, соответствующие функциям x(t), y(t) и z(t) (пара из этих напряжений может быть подана на пластины осциллографа — полученная сложная фигура является проекцией траектории системы Лоренца на соответствующую плоскость), image и image — начальные напряжения на конденсаторах image, image и image соответственно, SF = 10 В — масштабный коэффициент умножителя.

Первоначально производится зарядка конденсатора image от источника питания E; резистор image предусмотрен для перезарядки (состояние ключа K показано на рисунке в цепи генератора). Остальные конденсаторы имеют нулевой начальный заряд. По сути мы задаем начальные условия для системы (1). Схему начальной зарядки можно изменить (например, заряжать два конденсатора), за исключением ситуации, когда image. Это объясняется тем, что image, image и image — частное решение системы (1), где image — произвольная постоянная. Понятно, что в этом случае никаких колебаний не будет.

Сделаем замену image и продифференцируем по времени обе части каждого интегрального уравнения. Получим

(2) image

Будем моделировать динамику при классических значениях параметров системы (1). Положим величины сопротивлений и емкостей равными

image

Тогда система (2) примет вид

(3) image

Делая в (3) замену

image

получим систему Лоренца. Поскольку

image

то из введенной замены следует, абсолютная величина напряжения не превысит величины 7.44 В, что предусматривается документацией умножителя MPY634. Значение E можно выбрать равным 1.5 В (ЭДС пальчиковой батарейки).

Точность представленной модели определяется погрешностями реальных емкостей и сопротивлений, а также частотными характеристиками интеграторов и умножителей.

P.S.


Недавно мной был сделан доклад по данной теме на математической конференции. Посмотреть его можно здесь (заранее прошу прощения за качество видео). Там же можно загрузить и материалы доклада (лучше просматривать презентацию синхронно с докладом, поскольку из-за качества видео ее нечетко видно).
Tags:аттрактор Лоренцасистема Лоренцадифференциальные уравненияпериодические решениячисленные методыаналоговый умножительоперационный усилительинтегратор
Hubs: Mathematics
Total votes 45: ↑41 and ↓4 +37
Views42.8K

Comments 31

Only those users with full accounts are able to leave comments. Log in, please.

Popular right now

Интегратор/Разработчик 1С
from 30,000 to 50,000 ₽LoCardsRemote job
Software Developer (C, Matlab)
from 80,000 ₽Promwad Innovation CompanyRemote job
Разработчик C/C++ (Middle, Senior)
from 120,000 ₽EltexНовосибирск
Rust Developer
from 3,500 to 4,500 €VelvetFormulaRemote job