Mathematics
Comments 18
0
Советую почитать «утрату определенности» Мориса Клайна, пишет о кризисах математики, но начиная с античных времен, анализируя все аспект развития математики, в том числе связанных с культурой и языком народа, который развивал ту или иную область математики. Местами, читая твой пост, возникает ощущение, что это краткий пересказ одной из последних глав той книги, в которой автор консолидирует все свои рассуждения и приходит к выводам. Кстати книга оканчивается на той мысли, что все тлен, логицисты-формалисты-интуиционисты-теоретикомножественники не придут к компромису в области оснований математики, и нас ждет в будущем еще больший кризис -)
+1
Я посмотрел хаб «Математика», там недавно похожая тема была, кризисы обсуждались и прочая. Однако меня больше интересовали сами парадоксы. Кризис это уже как следствие, если я всё правильно понимаю. И, да, третий кризис математики начался и длится до сих пор, так что после Гёделя хуже уже сложно сделать)
Будучи существенно моложе, прочитал я один рассказ Теда Чана, который называется «Деление на ноль». Он-то меня и мотивировал глубже копнуть.
Решительно советую к прочтению, он небольшой.

Спойлер с идеей
— Я открыла формализм, который позволяет приравнять любое число к любому другому числу. На этой странице доказывается, что один равен двум. Выбери любые два числа; я могу доказать, что и они тоже равны.

Карл как будто пытался что-то вспомнить.

— Это ведь деление на ноль, верно?

— Нет. Тут нет никаких запрещенных опера­ций, никаких некорректно заданных условий, ни­каких независимых аксиом, которые бы подразуме­вались имплицитно, ничего. В доказательстве не использовано решительно ничего запретного.

Карл покачал головой.

— Подожди-ка. Очевидно, что единица не рав­на двум.

— Но формально равна — доказательство ты держишь в руке. Все мною использованное — в рамках абсолютно бесспорных утверждений.

— Но ты получила противоречие.

— Вот именно. Арифметика как формальная система является неполной.


Но всё же спасибо за книгу, добавлю в список «к прочтению»
0
Третий парадокс носит имя Рассела. Один из вариантов определения приведён далее.
Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента.Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие.Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие.


А в теории множеств невозможно следующее утверждение: K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента, и K содержит свою прошлую версию, в которой K еще не содержало себя?
Т.е. сделать предположение что мы оперируем более приближенными к реальность множествами, которые являются изменяемыми во времени, и несмотря на отличие текущего множества и его же в прошлом, это то же самое множество.
0
Ну раз уж имеется такая идея, то следует отталкиваться от следующего: пусть имеется множество, которое было в самом начале. Что же тогда было до него?

Время — весьма конкретное понятие, а вот теория множеств оперирует элементами произвольной природы. Сомнительно, что можно увязать два этих факта.
-1
> было в самом начале. Что же тогда было до него?
В данной формулировке само определение «начала» не допускает возможности существования «до».
Либо принимать, что «до» бессмысленно, либо пользоваться другим словом.
0
До не бессмысленно, тут предлагалось что-то вроде бесконечной индукции. Но раз уж речь идёт о конечных множествах, то всегда найдётся такое, как предлагалось, но с минимальным числом элементов, а вот оно уже не будет вписываться в модель.
0
если вы обратите внимание, то в учебниках математики, какой бы то ни было, не встречается выражений вида a = f(a), если только не требуется доказать, что f — тождество.
И этого до сих пор хватало. Хватит и впредь.
+2
Вот мне кажется, что из-за подобных трудов философов и не любят.

Диалектико-материалистический анализ показывает, что парадоксы являются следствием дихотомии языка и мышления, выражением глубоких диалектических (теорема Гёделя позволила проявить диалектику в процессе познания) и гносеологических трудностей, связанных с понятиями предмета и предметной области в формальной логике, множества (класса) в логике и теории множеств, с употреблением принципа абстракции, позволяющего вводить в рассмотрение новые (абстрактные) объекты (бесконечность), со способами определения абстрактных объектов в науке и т. п. Поэтому не может быть дано универсального способа устранения всех парадоксов.

Этот параграф, простите, что значит?
Что такое «дихотомия языка и мышления»? «Дихотомия» — это деление на две равные части. Что именно в языке и мышлении делится? Почему из этого деления следуют парадоксы?
Какую «диалектику» «в процессе познания» позволила проявить теорема Гёделя (надо полагать, о неполноте)? При чём тут вообще «диалектика»?
Я совершенно не могу своими словами объяснить последнее «поэтому». Почему не может быть дано универсального способа устранения всех парадоксов? Потому что существуют «гносеологические и диалектические трудности»? Которые, собственно, заключаются в чём? И почему эти трудности настолько непреодолимы?

По ощущениям, сказано что-то умное. Во всяком случае, использованы умные слова. Но я не понял параграф абсолютно — я не могу пересказать его содержание своими словами.

Но я-то ладно, Yggaz — известный деревенский дурак. Вы — автор. Вы сказать то же самое другими словами можете?
0
Да, не любят, но это не мешает работать с установленной терминологией. В том-то и проблема, что философские (хотя используются далеко не только там) определения весьма ёмкие по своей сути, расписывать своими словами места не хватит. Но есть пара моментов:
1) мне нужно было этот текст сдавать, отсебятины от меня никто бы не потерпел;
2) своими словами писать — очень долго и очень ёмко по тексту.
0
Ну сейчас-то его сдавать не нужно :). Давайте с самого начала и маленькими кусками. Что такое «дихотомия языка и мышления» и почему из неё следуют парадоксы?
0
Вот тут неплохо изложены все варианты картины. А парадоксы… Ну с ними чуть позже, я уже подзабыл, как это всё писалось и увязывалось, не хочу отсебятину пороть.
0
Предполагается, что эта статья — ответ на мой вопрос? Эта статья — просто перечисление мнений. «Вот есть такое мнение, а есть — другое мнение». Причём, надо сказать, по совершенно очевидному вопросу, путаница в котором возникает по двум причинам.

Первая — понятие «мышление» не определено, расплывчато. Совершенно очевидно, что языковая деятельность сопровождается активностью нейронной сети мозга. Если мы любую (или, например, любую целенаправленную) такую активность будем называть «мышлением», то любая языковая деятельность будет мышлением, но будут и некоторые приёмы мышления, не являющиеся языковой деятельностью (скажем — когда баскетболист бросает мяч в кольцо, мозг его работает ого как, но речевой деятельности нет). Если мы наложим более жёсткие ограничения на то, что считать мышлением, ответ изменится.

Вторая — плохо используется слово «язык». У него много разных значений. Главные — «языковая система» и «речевая деятельность». В указанной статье эти значения не отделены друг от друга, что ведёт к проблемам. Например, в абзаце
Роль языка очевидна: язык оказывается для человека классификатором объективной действительности...
совершенно очевидно, что речь идёт о языке как системе. Но в главке «язык есть мышление, но мышление не есть язык» также совершенно очевидно язык понимается как деятельность. При этом авторы даже не делают попытки разделить эти два значения — они говорят о языке «вообще». Разумеется, когда ты сам не очень чётко понимаешь, о чём ты говоришь, возникают когнитивные трудности.

P.S. Кстати, откуда вообще возникает «диалектическое единство» языка и мышления? Что вообще имеется в виду? В моём понимании язык и мышление никоим образом не являются противоположностями (и уже поэтому не могут составлять «диалектическое единство», там в определении есть требование противоположности) и не борются друг с другом. Правда, я вообще плохо понимаю примеры «диалектического единства». Все без единого исключения примеры, которые я видел, сводились к уподоблению одного и того же явления (отсюда «единство») несовместимым моделям (отсюда «противоположности»). Это известный эффект — точка зрения определяет очень многое. Слон выглядит как колонна, как полотнище, как верёвка — но слон вовсе не представляет собой «единство и борьбу» колонны, полотнища и верёвки.
0
Ну так кто мешает написать что-то своё ;-) Замечу, что я цитировал источник, а значит имеющееся у меня представление о вопросе меня устраивало. Рекомендую ознакомиться с оригинальными работами, возможно тогда вопрос прояснится.
0
Упомянутые «гносеологические и диалектические трудности» в чём заключаются? Вопрос о том, почему они приводят к невозможности устранения всех парадоксов, пока отложим.
0
Ну так в тексте же все написано, в выводе даны ключевые слова. Нужно прочитать целиком, хорошо всё обдумать.
0
Понимаете, проблема не в том, что используется специфическая терминология. Проблема в том, что в большинстве случаев эту терминологию не получается «развернуть». Когда мы. скажем, берём производную — мы можем «развернуть» все используемые понятия до базовых. Да, это займёт много времени и это сложнее, чем брать по таблице — но никто не помешает нам взять производную по определению, и получится то же самое, что и в случае использования таблицы.

А вот с философией так не получается. Не получается самостоятельно восстановить смысл — и возникают сомнения, есть ли он там вообще.
0
Ну так философия и не читается в школе. Когда человек доходит до курса философии, предполагается, что уже есть необходимая подготовка, возраст соответствующий, тогда философские проблемы сами возникают в голове; это я не только на своём примере говорю, множество моих товарищей ощущали то же самое.

И восстановить смысл в философии не намного сложнее. Просто это займёт больше времени за счёт малого опыта. Ведь как это делается: нужно понять, как мыслил автор идеи, каким было его окружение, уровень знаний и прочего. Есть же общая методология науки, она применима везде.
0
Некоторые парадоксы саморазрешаются, если выйти на другой уровень логики — на мета-уровень или эмерджентный уровень.

Например, логика на уровне битов взаимоисключающая — бит может быть равен либо 0, либо 1. Не может быть бита одновременно в состоянии и 0 и 1. А вот на уровне выше, на уровне байтов байтов — 0 и 1 не исключют друг друга, парадокса как бы нет.

Длинная тема на самом деле…
Only those users with full accounts are able to leave comments., please.