В современном мире сложно представить развитие продукта без A/B-тестирования. Чтобы успешно запустить продукт или новую функциональность — надо грамотно спроектировать A/B, рассчитать и интерпретировать его результаты. Иногда нам требуется тестирование более чем для двух групп. В этой статье мы рассмотрим как раз такой случай — множественное тестирование:

поговорим о том, когда и зачем следует проводить множественные тесты;
рассмотрим основные методы расчёта результатов тестов и математические принципы, на которых основаны методы;
приведём примеры программной реализации методов; эти примеры вы сможете использовать в своих проектах.

Итак, приступим.

Множественные эксперименты: когда и зачем

Очевидно, что любое техническое усложнение эксперимента должно быть обосновано практической необходимостью. Это касается и множественных тестов. Если аудитория разбивается более чем на две подгруппы, вероятность получить ошибку первого рода при эксперименте нарастает экспоненциально:

$1 – (1 – \alpha)^n,$

где $inline$ — число подгрупп, $\alpha$ — заданный уровень статистической значимости.
Таким образом, при добавлении всего одной дополнительной подгруппы в привычный парный тест ( $inline$ ) при заданном стандартном уровне $\alpha = 0.05$ мы получаем вероятность ошибки первого рода $inline$ , что значительно превышает наш заданный $\alpha = 0.05$ .

Зачем же проводить множественные эксперименты, если они снижают точность результатов исследования? Причин может быть несколько:

Требуется протестировать несколько изменений и их кумулятивное воздействие на продуктовые метрики. Пример — показ пользователю на странице сервиса двух новых элементов, которые по-разному расположены относительно друг друга.
Изменения можно протестировать только в одном временно́м промежутке, поскольку они и взаимозависимы, и чувствительны к недельной сезонности. Пример — отключение рекламных каналов для расчёта эффекта межканальной каннибализации.
Заказчик хочет как можно скорее и дешевле получить ответ, какой из вариантов следует выбрать, сэкономив при этом время разработки и внедрения эксперимента.

Если мы столкнулись с одной из таких задач и нам предстоит рассчитать статистическую значимость для теста — нужно учитывать необходимость поправки на множественное тестирование. О том, что же это такое и как это правильно сделать, и пойдёт речь ниже.

Множественные эксперименты: особенности расчёта

Основные понятия

Рассмотрим общий случай, когда мы имеем дело с $inline$ гипотезами $H_{0i}$ , $inline$ о попарном равенстве медианы или среднего $inline$ подгрупп. В таком случае возможен и верный, и неверный результат исхода $H_{0i}$ $inline$ $H_{1i}$ для каждой из $inline$ гипотез. Представим результаты в виде confusion matrix эксперимента:

$inline$ $inline$	$inline$	$inline$
	$H_{0i}$ не отклонена	$H_{0i}$ отклонена	$inline$
$H_{0i}$ верна	$inline$	$inline$	$inline$
$H_{0i}$ неверна	$inline$	$inline$	$inline$

Таким образом, неверно отклонены $inline$ из $inline$ отклонённых основных гипотез.

Исходя из этих параметров, мы введём два важных понятия ошибок, которые контролируются при множественном тестировании: $inline$ и $inline$ .

Групповая вероятность ошибки $inline$ (Family-Wise Error Rate) представляет собой вероятность получить по крайней мере одну ошибку первого рода и определяется формулой:

$display$

$inline$ (False Discovery Rate) — это математическое ожидание отношения ошибок первого рода к общему количеству отклонений основной гипотезы:

$display$

Рассмотрим методы контроля этих ошибок на примере стандартного продуктового кейса.

Описание кейса

В качестве простого примера рассмотрим эксперимент, в котором трём изолированным, непересекающимся группам пользователей показали три варианта страницы с предложением нажать на кнопку звонка по объявлению. В качестве основной метрики для простоты расчёта возьмём суммарное количество звонков в каждой группе.

Посмотрим на то, как же менялась исследуемая метрика:

Рис. 1. График динамики нажатий на кнопку звонка

Воспользуемся стандартным методом $inline$ , чтобы привести распределение целевой метрики в выборках к нормальному виду, и посмотрим на гистограммы и диаграммы размаха средних значений в выборках:

Рис. 2. Гистограмма распределения средних значений в группах

Рис. 3. Диаграмма размаха средних значений в группах

Судя по графикам, группа C выигрывает по количеству нажатий на кнопку звонка. Однако необходимо убедиться в статистической значимости результатов. Для этого приведём оцениваемую метрику к виду нормального распределения и воспользуемся привычным t-критерием Стьюдента для попарного сравнения групп в эксперименте, а затем — методами контроля $inline$ и $inline$ для учёта поправки на множественное сравнение.

Контроль FWER

Существует множество методов контроля данной ошибки, однако наиболее распространены два:

1) одношаговая процедура с одновременной корректировкой $inline$ для всех тестируемых гипотез методом Бонферрони;

2) последовательная, итеративная корректировка $inline$ c принятием решения на каждом шаге в соответствии с результатом методом Холма.

1. Поправка Бонферрони

Эта одношаговая процедура позволяет снизить вероятность ложноположительного результата эксперимента. Суть метода — принять альтернативную гипотезу, если:

$p ≥ \alpha / n,$

где $inline$ — количество тестируемых гипотез.

Реализовать метод можно достаточно просто при помощи стандартной библиотеки $inline$ :

from bootstrapped import bootstrap as bs
from bootstrapped import compare_functions as bs_cmp
from bootstrapped import stats_functions as bs_st


bs_ab_estims = bs.bootstrap_ab(np.array(group_A), np.array(group_B), 
                               bs_st.mean bs_cmp.difference, 
                               num_iterations=5000, alpha=0.05/3, 
                               iteration_batch_size=100, scale_test_by=1, 
                               num_threads=4)

bs_bc_estims = bs.bootstrap_ab(np.array(group_B), np.array(group_C), 
                               bs_st.mean bs_cmp.difference, 
                               num_iterations=5000, alpha=0.05/3, 
                               iteration_batch_size=100, scale_test_by=1, 
                               num_threads=4)

bs_ac_estims = bs.bootstrap_ab(np.array(group_A), np.array(group_C), 
                               bs_st.mean bs_cmp.difference, 
                               num_iterations=5000, alpha=0.05/3, 
                               iteration_batch_size=100, scale_test_by=1, 
                               num_threads=4)

Получив результаты статистической оценки, можно сделать выводы, различаются группы или нет.

Основной минус подхода: чем больше подгрупп — тем меньше мощность критерия, что увеличивает вероятность принять неверную гипотезу. Например, для десяти тестов и $inline$ необходимо получить $inline$ , чтобы сказать, что разница значимая. Чтобы нивелировать эти недостатки, можно выбрать метод Холма.

2. Метод Холма

Это нисходящая процедура последовательного изменения $inline$ . На первом шаге алгоритма метода реальные $inline$ сортируются по возрастанию:

$display$

затем корректируется исходно заданный $\alpha$ -уровень:

$\alpha^{’}_i = \alpha / (n – i + 1),$

после чего проверяется условие $p_i ≥ \alpha^{’}_i$ и делается заключение, верна ли основная гипотеза $H_{0i}$ .

Точка останова алгоритма — момент i, когда принята первая основная гипотеза $H_{0i}$ , при этом принимаются и все последующие $H_{0j}, j > i$ .
Реализовать данный метод можно при помощи процедуры $inline$ из библиотеки $inline$ с параметром $inline$ :

from bootstrapped import bootstrap as bs
from bootstrapped import stats_functions as bs_st
from scipy.stats import ttest_ind
from statsmodels.sandbox.stats.multicomp import multipletests

bs_a = bs.bootstrap(np.array(group_A), stat_func=bs_st.mean, 
             num_iterations=10000, iteration_batch_size=300, 
             return_distribution=True)


bs_b = bs.bootstrap(np.array(group_B), stat_func=bs_st.mean, 
             num_iterations=10000, iteration_batch_size=300, 
             return_distribution=True)

bs_c = bs.bootstrap(np.array(group_C), stat_func=bs_st.mean, 
             num_iterations=10000, iteration_batch_size=300, 
             return_distribution=True)


stat_ab, p_ab = stats.ttest_ind(pd.DataFrame(bs_a), pd.DataFrame(bs_b))

stat_bc, p_bc = stats.ttest_ind(pd.DataFrame(bs_b), pd.DataFrame(bs_c))

stat_ac, p_ac = stats.ttest_ind(pd.DataFrame(bs_a), pd.DataFrame(bs_c))

print(sorted([p_ab, p_bc, p_ac]))

print("FWER: " + str(multipletests(sorted([p_ab, p_bc, p_ac]), alpha=0.05, 
                     method='holm', is_sorted = True)))

Контроль FDR

Контроль $inline$ означает, что выполняется условие $FDR = E(V/R) < \alpha$ . При этом $inline$ , т. е. вероятность получить ошибку первого рода при контроле $inline$ снижается.

Метод Бенджамини — Хохберга

Эта восходящая процедура предполагает последовательное изменение $inline$ , предварительно отсортированных по возрастанию:

$display$

Затем исходный $inline$ -уровень корректируется по формуле:

$\alpha^{’}_i = i · \alpha / n,$

затем, как и в методе Холма, проверяется условие $p_i ≥ \alpha^{’}_i$ и делается заключение, верна ли основная гипотеза $H_{0i}$ и все последующие $H_{0j}, j > i$ .

Метод Бенджамини — Хохберга, как и метод Холма, можно реализовать при помощи процедуры $inline$ :

print("FDR: " + str(multipletests([p_ab, p_bc, p_ac], alpha=0.05, 
                    method='fdr_bh', is_sorted = False)))

Заключение

В статье мы рассказали об основных методах оценки результатов множественных тестов и привели примеры программного кода, реализующего эти методы. Мы надеемся, что вы с пользой и интересом провели время и сможете применить описанные процедуры на практике. А если у вас возникли вопросы — мы с радостью ответим на них.

Спасибо за внимание!

Множественные эксперименты: теория и практика