2 June 2015

100 лет спустя: заполненные пропуски в записях Рамануджана

Wolfram Research corporate blogEntertaining tasksProgrammingMathematics
Original author: Oleg Marichev и Michael Trott

Перевод поста Олега Маричева и Майкла Тротта "After 100 Years, Ramanujan Gap Filled".
Скачать файл, содержащий текст статьи, интерактивные модели и весь код, приведенный в статье, можно здесь.
Выражаю огромную благодарность Кириллу Гузенко за помощь в переводе.

Сто лет назад Сриниваса Рамануджан и Г. Х. Харди начали знаменитую переписку о настолько поразительных вещах в математике, что Харди описал это как нечто едва возможное, чтобы в это поверить. Первого мая 1913-го года Рамануджан получил постоянную должность в Университете Кембриджа. Через пять лет и один день он стал научным сотрудником королевского общества, а его группа стала самой престижной на тот момент научной группой в мире. В 1919-ом году Рамануджан смертельно заболел во время длительного путешествия на пароходе Нагоя в Индию, которое проходило с 27-го февраля по 13-ое марта. Всё, что у него было — блокнот и ручка (да, никакой Mathematica в то время), и перед смертью он хотел оставить на бумаге свои уравнения. Он утверждал, что у него есть решения для целого ряда функций, однако ему хватало времени записать лишь несколько, прежде чем перейти к другим областям математики. Он записал следующее неполное уравнение и 14 других (см. ниже), из которых только три на данный момент решены.

One of Ramanujan's unsolved equations

Он умирал несколько месяцев, вероятно, от печёночного амёбиаза. Его последний блокнот был отправлен Университетом Мадраса к Г. Х. Харди, который затем передал его математику Г. Н. Уотсону. В 1965-ом году, когда Уотсон умер, директор колледжа нашёл блокнот в его офисе, отбирая документы на уничтожение. Джордж Эндрюс заново открыл этот блокнот в 1976 году и, наконец, в 1987 году он был опубликован. Брюс Берндт и Эндрюс писали об утерянном Блокноте Рамануджана в серии книг (Часть 1, Часть 2, и Часть 3). Как сказал Берндт: «Открытие этого „утерянного блокнота“ вызвало бум в математическом мире такой же, какой могло бы вызвать открытие десятой симфонии Бетховена в мире музыкальном».

В своей книге, анализируя результаты Рамануджана, Берндт указывает на существование решения для Solution noted by Berndt, однако отмечает, что решение является не особо изящным, чтобы его в ней приводить. Как будет показано ниже, существует решение столь же изящное, сколь и остальные, найденные самим Рамануджаном.

Elegant solution found

Что означает это уравнение? Начнём со сравнения арифметической и геометрической прогрессий.

Сумма первых n членов некоторой арифметической прогрессии: 1 + 2 + 3 + … + n.

Сумма первых n членов некоторой геометрической прогрессии: a1 + a2 + a3 + … + an.

Для каждого типа прогрессии мы можем предсказывать её поведение с помощью формулы частичной суммы, если свернуть приведенные выше выражения к их замкнутой форме.

Вот другая форма арифметической прогрессии, представленная в форме непрерывных дробей:

Continued fraction example

где символ Equation for the Mathematica function ContinuedFractionK соответствует функции ContinuedFractionK в Mathematica.

Аналогично, «геометрический» вариант непрерывных дробей известен как функция R Роджерса-Рамануджана. Она родственна функции S Роджерса-Рамануджана (Леонард Джеймс Роджерс публиковался вместе с Рамануджаном в 1919-ом году). В «утерянном блокноте» F(q) представляется как S(q).

R(q) — непрерывная дробь следующего вида:

Form that R(q) is the continued fraction of

И аналогично для S(q). (Использование множителя Fifth root of q делает формулы более «удобными»). Вот более формальные определения:

More formal definition of R(q)

More formal definition of S(q)

Эти функции связаны соотношением Equation showing the relation of S(q) and R(q). Многие опубликованные работы упоминают S(q) = -R(-q), но это неверно из-за многолистности корня в комплексной области. Мы так же можем задать R и S через q-символы Похгаммера для существенного ускорения вычислений.

Definition of R using q-Pochhammer symbols

Definition of S using q-Pochhammer symbols

Вот иллюстрация поведения функции R в единичном кругеk на комплексной плоскости. Полученные значения могут быть комплексными, поэтому отображены действительная, мнимая части, аргумент и абсолютное значение (Im, Re, Arg и Abs) функции R(q). Сама единичная окружность является естественной границей аналитичности этой функции и содержит множество особенностей функции R(q). Как можно заметить, функции Роджерса-Рамануджана красивы не только из-за своих математических свойств, но и чисто визуально.

Pictures of the behavior of the R function on the unit disk in the complex plane

Функции R и S — две из небольшого количества именованных функций, связанных с непрерывными дробями. В последнее время мы собирали теоремы и формулы для функций R и S, включая незавершённые из «утерянного блокнота» Рамануджана. Последняя строчка эквивалентна Equation from Ramanujan's original lost notebook.

Piece of Ramanujan's original "lost" notebook

Многие из них были повторно найдены после Рамануджана. Все из них легко решаются в Mathematica. Приведём известные решения, начиная с тех, которые появились ранее, а так же те, которые Олег Маричев впервые реализовал в Mathematica.



Брюс Берндт отметил: «значение Equation может быть определено через значение Equation и известное уравнение, связывающее R(q5) с R(q). Не будем приводить здесь полученное значение, потому что оно не особо изящно.»

С Simplify, RootReduce и многими другими функциями Mathematica большие уравнения могут быть сведены к своей самой изящной форме. Рамануджан использовал мел и свой интеллект для упрощения получаемых результатов — громоздкие он стирал из своего списка, а изящные оставлял. Кажется вероятным, что Рамануджан на самом деле знал изящное решение, или по крайней мере способ найти его, но у него уже не оставалось времени, чтобы его записать. Вот метод, который мы использовали. Сперва следует получить численное значение в интересующей точке. Далее следует получить некоторую замкнутую алгебраическую форму для этого числа. Затем выразить полученное алгебраическое число через конструкцию из радикалов. Затем нужно проверить полученную форму численно с первоначальным значением с очень высокой точностью.

Starting to calculate a numerical value for the point of interest

Calculating a numerical value for the point of interest

1.151253225350832849725197582897578627999982843838182580967555952676114472157669659604129909241760880

algebraicConjecture = RootApproximant[numValue, 24]

Closed algebraic form for the number

ToRadicals[algebraicConjecture ]

Algebraic number as nested radicals

То есть мы проверяем, что численное значение предполагаемой формы такое же, как значение функции. Значения совпадают по крайней мере на первых 10,000 цифрах.

Checking the numerical value of the conjectured form is the same as the value of the function

0. x 10^-10049

Поскольку они оба — алгебраические числа весьма изящного вида, то это — довольно убедительная проверка. И метод легко может быть обобщён для поиска многих неизвестных на данный момент значений S(q) и R(q).

Фактическое доказательство может быть реализовано через модульные уравнения (modular equations). Это модульное уравнение 5-го порядка для S:

Using modular equations for actual proof

Modular equation of order 5 for S

Мы используем ранее известное значение Equation для S(q5) и решаем уравнение относительно S(q), чтобы получить значение Equation.

Beginning to simplify the equation

Result for S(q)

FullSimplify[%]

Simplified version of the equation

Избавившись от знаменателей, получаем приведённый ниже результат.

Clearing denominators

Final result

Уравнения Рамануджана близки по тематике к нашей недавней работе — добавлению множества различных знаний о непрерывных дробях в Wolfram|Alpha. В одном из следующих постов мы расскажем о новых возможностях, таких как ввод запроса о цепной дроби K (1, n, {n, 1, inf}).

Мы так же составили список сотен точных значений в интерактивной демонстрации “Ramanujan R and S”.

Ramanujan R and S Demonstration

«Не особо изящно» — это то, чего никак нельзя сказать о работах Рамануджана. И мы рады были показать, насколько изящны его идеи.
Tags:wolfram languagewolfram mathematicawolfram alphaрамануджанфункции роджерса-рамануджананепрерывная дробь
Hubs: Wolfram Research corporate blog Entertaining tasks Programming Mathematics
+52
48.5k 113
Comments 19