Pull to refresh

Comments 18

К проблеме 1: кроме 47 простых чисел Мерсена, есть 4, порядок которых не доказан, то есть, 48-ое найденное может, например, оказаться позднее, там, 49-ым по порядку https://www.mersenne.org/primes/

Правильный 65537-угольник визуально неотличим от окружности (при разрешении в 1000 пикселей отличие от окружности будет меньше одной миллионной пикселя).

Это прекрасно.

Вообще простые числа основаны на классической арифметике (сложение и умножение-деление). А если в качестве операций взять не сложение и умножение, а что-то другое, то в этой системе появятся другие «простые числа»? Интересно, есть ли достаточно фундаментальные операции, которые могли бы составить конкуренцию привычной нам арифметике?
Есть простые числа Гаусса, к примеру. Можно обобщить простые числа для сколь угодно мерного множества чисел, хоть для кватернионов, хоть для седенионов. Вопрос только зачем, потому что на данный момент развития науки не появилось пока что надобности в массовом использовании таких чисел.
Есть неприводимые полиномы — они используются не менее массово, нежели простые числа, а то и гораздо более, например, в цифровых системах передачи данных.
Этим занимаются в таком направлении математики, которое называется «алгебра». И если взять вместо сложения и умножения что-то другое, то выяснится, что есть на самом деле два разных свойства, похожих на простоту — собственно «простота» и «неприводимость», а нам просто повезло, что у наших натуральных чисел они сливаются в одно.
Давайте поговорим о гиперкомплексных числах. Там тоже есть нерешенные проблемы.

Вот нашел свою древнюю публикацию от 2012 года: «Связь математики и программирования. Новейший результат.» ( wasm.in/threads/svjaz-matematiki-i-programmirovanija-novejshij-rezultat.31358 ):

«Всем вам должны быть известны, действительные числа и их прямое обобщение – комплексные числа. Более начитанные возможно слышали об их дальних родственниках: кватернионах и октанионах (октавах или числах алгебры Кэли-Грэйвса). Все эти числа относятся к классу гиперкомплексных чисел либо, более конкретно, алгебрам Кэли-Диксона. Алгебры Кэли-Диксона строятся по принципу математической индукции. В качестве начальной обычно выбирается алгебра действительных чисел. Затем из алгебры порядка n с помощью итерационной процедуры Кэли-Диксона получается алгебра порядка n+1. Размерность каждой новой алгебры удваивается. Действительно, размерность действительных чисел равна 1, комплексных чисел – 2, кватернионов – 4, октанионов – 8, седенинов – 16 и т.д., до бесконечности. Интересующиеся подробностями могут прочитать в Интернете популярную статью: В.В. Сильвестров. «Системы чисел».

Заметим, что числа Кэли-Диксона из соответствующей алгебры размерности 32 и выше не имеют даже названия.

Короче, проблема состоит в том, что умножение базисных элементов в этих числах, в соответствии с процедурой удвоения Кэли-Диксона (КД), определяется соответствующими таблицами умножения, которые вы свободно можете найти в википедии для алгебр КД малой размерности. Многие математики пытались выявить связь между индексами i, j и k этих базисных элементов в формулах типа e_i * e_j = e_k, где индексы i, j и k пробегают значения от 0 до 2^n-1, в n-ой алгебре КД. Пока только получены мнемонические правила. Скажем для кватернионов базисные элементы e_0 = 1, e_1, e_2 и e_3 образуют таблицу умножения по принципу циклического сдвига элементов, положительного в порядке возрастания индексов 1, 2, 3, 1 и отрицательного в обратном порядке. Для алгебры октав, с числом базисных элементов 2^3=8, подобных циклических групп будет уже 7, которые, кстати, образуют аналогичную систему троек Штейнера. А соответствующее мнемоническое правило умножения определяется с помощью известной диаграммы (матроида) Фано (ищите в википедии). Для седенионов нет даже мнемонического правила. Хотя соответствующие тройки Штейнера для индексов базисных элементов седенионов, могут, теоретически, быть уже системой троек Киркмана, но так это или нет, никто не знает.

Так вот, наконец-то мы можем сформулировать наш результат, который, частично, публикуется впервые. Вопрос, как индекс k в формуле умножения базисных элементов для алгебры КД, порядка n:

e_i * e_j = e_k

зависит от индексов i и j?

Ответ. Первая его часть. С точностью до знака: k = i xor j. Отметим, про себя, коммутативность этой операции.

Вторая часть ответа, которая определяет сам знак умножения, формулируется значительно сложнее и мне его трудно сформулировать здесь без возможности поддержки формул. Опишу только суть формулы. Это минус единица в некоторой степени, которая определяется всеми частичными бинарными представлениями индексов i и j и тремя операторами между ними, выбор которых зависит определенным образом от значений этих частичных представлений. Сами эти операторы такие. Два из них коммутативные: and и or один некоммутативный со следующей таблицей умножения: 0*0 = 0; 0*1 = 0; 1*0 = 1; 1*1 = 0. Именно этот оператор определяет некоммутативность чисел алгебры КД(n), а точнее антикоммутативность произведения любых базисных элементов, не включающих их нулевой элемент, равный 1 (который коммутативен). Соответственно, ассоциация произведения трех базисных элементов может быть как положительной так и отрицательной, другими словами, одни произведения базисных элементов ассоциативны, а другие антиассоциативны. И всю эту нерегулярность определяет представленный некоммутативный оператор без названия. Может, кто знает о его применении в программировании либо алгебре логики?»

По ссылке: wasm.in/threads/svjaz-matematiki-i-programmirovanija-novejshij-rezultat.31358/page-2#post-379089, можно почитать и о моей «формуле для знака»…
А вы публиковали свои результаты в научном журнале? Мне кажется, если такие результаты ранее получены не были никем другим, то это вполне неплохая тема для статьи, которую вполне могут принять в довольно престижный журнал.
Если публиковали, не могли бы поделится ссылкой? А то в вашем комментарии ссылки только на какой-то форум.
А вы публиковали свои результаты в научном журнале? Мне кажется, если такие результаты ранее получены не были никем другим, то это вполне неплохая тема для статьи, которую вполне могут принять в довольно престижный журнал.
Если публиковали, не могли бы поделится ссылкой? А то в вашем комментарии ссылки только на какой-то форум.

Форум, это бывший wasm.ru. Ныне этот сайт существует только в архивах, ссылки на которые я дал.

К сожалению, результаты больше нигде не публиковал. Хотя в сообщениях на форуме, писал, что собираюсь это делать в «научной статье». Но, то ли меньше надо говорить о своих планах, то ли, как в пословице: «Человек предполагает, а Бог – располагает.».

Более того, результаты там, хотя и правдоподобные, но, строго говоря, не доказанные. Может кто-то восполнит пробел, либо я вернусь к этой теме, когда будет настроение.

Для полноты картины могу дать еще ссылку на свою формулировку и доказательство «Интегральной формулы Коши для кватернионов»: scholium.narod.ru (тоже самое в неполной копии сайта в zarion2.narod.ru ). Там есть небольшая неточность, замеченная одним математиком из Польши, связанная с формулой (39). Но, если эту формулу вынести в условие теоремы, то все будет ОК. :)

Еще может быть интересна моя статья: «Внешняя сортировка «естественным слиянием» ( emery-emerald.narod.ru/Cpp/2E1562.html ). Там сформулирован результат, что:

Случайная последовательность обладает частичным порядком больше минимально возможного, теоретически, равного двум, а именно:

L = 2e – 3 = 2.436563656918.


На этом свойстве и основан мой алгоритм сортировки.
А вы вообще точно уверены, что операция умножения для чисел выше седенионов вообще определена? С учётом того, что уже на кватернионах она перестаёт быть коммутативной. А в октонионах ещё и ассоциативность теряется. А дальше и делители нуля появляются.

А вы вообще точно уверены, что операция умножения для чисел выше седенионов вообще определена?

Алгебры Кэли-Диксона порядка n определяются рекурсивно, согласно процедуре удвоения. Более подробную информацию можно найти в, упомянутой выше, популярной статье В.В. Сильвестрова: «Системы чисел» ( https://ua1lib.org/dl/806012/ae9407 ).

на кватернионах она перестаёт быть коммутативной. А в октонионах ещё и ассоциативность теряется. А дальше и делители нуля появляются.

Ну, да, это так, только делителя нуля не отменяют процедуру умножения, которая вполне определенна. Но определена рекурсивно. У меня же формула умножения единиц явная, только очень сложная для знака.

Алгебры Кэли-Диксона порядка n определяются рекурсивно, согласно процедуре удвоения
Я в курсе, только вопрос был совсем другой. Поскольку при переходе на каждый новый уровень теряются свойства умножения — то логично предположить, что дальше от умножения как операции вообще никаких свойств не останется, соответственно и результат такой операции умножением назвать нельзя будет.

Умножение в математике операция достаточно абстрактная. Формально никто не запрещает вам назвать любое бинарное отношение умножением. Но если вы настаиваете, пусть вместо умножения для KD(5) и выше будет бинарное отношение. Значит, в моем случае, речь идет о явной формуле для бинарного отношения в любой алгебре KD(n), при натуральных n.

Хотя, как по мне, теряются свойства не умножения, а тех числовых систем, для которых оно определено. Поля R и C поглощаются телом K, а оно – не ассоциативными октавами O, а те седенионами, с делителями нуля, S. Потом начинаются малоизученные системы, типа KD(5) и выше. Что они из себя представляют? Скорее всего, распадаются в декартово произведение более простых алгебр, но не обязательно. Я бы с удовольствием почитал бы информацию об их свойствах.

Факторизация целых чисел за полиномиальное время — разве не самая интересная задача? Простая как двери — а до сих пор никто не знает возможно ли на классическом компьютере.
Как показала великая теорема Ферма, просто сформулированные вещи часто оказываются ошеломляюще сложными:)
В этом и состоит прелесть данных задач. Прелесть факторизации еще вот в чем — если метод будет найден — не нужно заморачиваться со сложным доказательством — просто продемонстрировать готовое решение.

Но решать эту задачу не спешат, особо ее не афишируют в ряду интересных. Возможно по практическим соображениям — все-таки не хочется лишиться современной криптографии.
Но решать эту задачу не спешат, особо ее не афишируют в ряду интересных.

Во-первых ее афишируют. Возьмите любую статью про квантовые компьютеры и в пермов же абзаце про нее будет рассказано. Во-вторых поиск более быстрого алгорима— это задача компьютерных наук или прикладной математики, и она лежит несколько в стороне от чистой теории чисел. Так что никто эту факторизацию не скрывает.
Дополню статью – простых чисел Мерсенна открыто не 47, а уже 51
Only those users with full accounts are able to leave comments. Log in, please.