Было у отца два сына. И оставил он им наследство — камень драгоценный. А чтобы никого не обидеть, поставил он перед сыновьями условие: нельзя тот камень ни пилить, ни продавать. Можно только по очереди владеть им. И повелось так — каждый год камень переходил от одного брата к другому. Потом камнем по очереди владели их потомки, потом потомки их потомков… И длилось так вечно.
Эту притчу сочинил итальянский математик, монах и философ Гвидо Гранди. С её помощью он пытался объяснить решение задачи, которую сам же и сформулировал в 1703 году. Задача Гранди имеет весьма занятную историю. В 18 веке её считали парадоксом и предлагали разные варианты решения. Не остались в стороне и Леонард Эйлер и Готфрид Лейбниц. Причём каждый предлагал вполне логичное по тем временам доказательство своего решения.
Сегодня на вопрос, сформулированный Гвидо Гранди, есть единственный, чётко обоснованный ответ. Однако задача всё равно остаётся интересной — уже по другой причине. Дело в том, что люди, не знакомые со свойствами рядов, на интуитивном уровне повторяют рассуждения современников Гранди.
Но обо всём по порядку.
Гранди, Лейбниц и Эйлер
Итак, задача Гранди формулируется очень просто: какой результат мы получим, если будем до бесконечности складывать 1 и -1?
S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − …
Для тех, кто хорошо знаком с современной математикой, а точнее с математическим анализом, ответ будет очевиден. Однако в 18 веке учёные ещё не знали о сходимости рядов. Поэтому мнения разошлись: было предложено целых три варианта решения: 0, 1 и ½.
Причём в пользу каждого из вариантов проводились отдельные, вполне убедительные для того времени, доказательства. Например, Готфрид Лейбниц рассуждал следующим образом: если мы будем последовательно складывать члены ряда Гранди, то сумма будет попеременно равняться то 1, то 0. Получается, что суммы 0 и 1 равновероятны. Значит нужно просто найти их среднее арифметическое — наиболее вероятной суммой ряда будет ½.
Леонард Эйлер пришёл к тому же ответу, но другим путём. Он воспринимал ряд Гранди как геометрическую прогрессию со знаменателем −1. Сумма такой прогрессии будет равна:
S = 1 : (1 − (−1)) = ½
Некоторые рассуждали совсем просто: S − 1 = −S, значит S = ½.
Кстати, есть ещё один знакочередующийся ряд:
1 − 2 + 3 − 4 + …
Эйлер полагал, что сумма такого ряда равняется ¼. Правда, сам он считал такое решение «парадоксальным». Вообще, Эйлер исследовал обобщённый вариант:
1 − 2n + 3n − 4n + …
Он проводил эти изыскания в процессе работы над Базельской проблемой — ещё одной задачей по нахождению суммы ряда.
Сад несходящихся тропок
Но вернёмся к нашему ряду из единиц. Сам Гранди получил сразу два варианта его суммы: 0 и 1. Он просто разбил свой ряд на пары слагаемых двумя способами:
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1
Гранди это противоречие нисколько не смутило. Он ведь был не только математиком, но и философом. Более того — католическим монахом. Поэтому он сделал из своих выкладок сугубо теологический вывод: мир — это единица, ноль — это ничто. Получилось ещё одно доказательство того, что мир создан из ничего.
Однако такое объяснение удовлетворило далеко не всех современников Гранди. Например, его земляк Алессандро Маркетти стал одним из первых критиков такого решения. Он заявил, что бесконечное число нулей не может дать конечную ненулевую сумму и указал Гранди на опасность теологических трактовок подобных задач. Однако Гранди продолжал настаивать на своей интерпретации. Это вылилось в публичную перепалку двух математиков в серии открытых писем друг другу.
Позже Гранди изменил своё мнение и тоже пришёл к ответу ½. Для объяснения этого решения он сочинил ту самую притчу про отца, сыновей и драгоценный камень.
Задача Гранди ещё долгое время не давала покоя математикам. Её исследовали и Якоб Бернулли, и Пьер Вариньон, и Луи Антуан де Бугенвиль. Изобретались и новые варианты решений. Например, в 19 веке британский математик Роберт Вудхаус вообще предположил, что сумма ряда Гранди равняется странному числу 1 / (1 + 1). Эта дробь должна была как-то отличаться от ½.
Теперь-то мы знаем, что понятие суммы ряда имеет смысл для сходящихся рядов — тех, у которых сумма членов по мере увеличения их количества всё меньше отличается от некоторого фиксированного числа. Ряд Гранди таковым не является. Поэтому и сумму для него искать бессмысленно.
Окончательное представление о сходимости рядов появилось только в 19 веке. Так что в 18 веке математики имели возможность как следует поспорить, что же делать с парадоксом ряда Гранди и чему же в итоге равна его сумма.
«Можно доказать всякую чепуху»
Но знаете, что интересно? Мы с вами живём в 21 веке, но далеко не все наши современники могут дать правильный ответ на вопрос, поставленный математиком Гвидо Гранди три века назад. С точки зрения математика всё очевидно. С точки зрения человека, не знакомого с математическим анализом (или успевшим как следует его забыть), ответ может варьироваться.
Например, в 1987 году 17-летние ученики лицея Варшавы не высказали особых сомнений в том, что у ряда Гранди есть какая-то сумма. Их не смутил вариант '½'. Один из учеников потом сказал, что: «с помощью этих математических преобразований можно доказать всякую чепуху». Так и представляется, как он недоумённо пожимает плечами: мол, в этой вашей математике и не такое возможно.
В 2000 году подобный эксперимент провели в итальянском научном лицее города Тревизо. Ряд Гранди показали учащимся в возрасте 16-18 лет. 34% вообще затруднились ответить. Правильный ответ («невозможно вычислить») дали только 6% опрошенных. Зато варианты ответов из 18 века в совокупности имели огромный успех:
«0» — 29%
«0 или 1» — 20%
«½» — 5%
«1» — 4%
Ещё 2% дали немного неожиданный ответ: «бесконечность». Интересно, что рассуждения учащихся во многом совпадали с логикой математиков 18 века.
Попробуйте провести аналогичный опрос про сумму знакопеременного ряда среди ваших знакомых, далёких от математики. Но не забывайте, какие ответы предлагали маститые Лейбниц и Эйлер! Возможно, кто-нибудь в следующем столетии так же снисходительно покачает головой, прочитав про наши наивные попытки доказать, например, гипотезу Римана или решить проблему Гольдбаха.
Что ещё почитать:
