Pull to refresh

Comments 54

А ведь еще в начале прошлого века великий Курт Гёдель предвидел это и строго доказал, что даже в арифметике у нас не хватает ума, чтобы выразить все ее законы без противоречий.

Так-то теоремы Геделя о «нашем уме» ничего не говорят, они о другом, но для рекламы 1С-Битрикса и вполне сгодятся.
Ну так аксиомы арифметики до сих пор в порядок отчего не привели? Шарики за ролики заходят, не хватает нейронов :-)
А что не так с аксиомами арифметики? Расскажите, пожалуйста.
И?..
Прочитал два раза, ища проблемы аксиоматики Пеано.
Если не считать авторского отсебячного постскриптума, все нормально вроде.
Комменты создают Пеано проблемы?
Буду признателен, если вы кратко укажите все-таки квинтэссенцию комментов. Всё это читать и выискивать что-то неизвестное времени нет.
Я понимаю так, что любая аксиоматика, в т.ч. PA, не может объяснить некоторые вещи (примеры в комментах) и требуется другая теория (другой набор аксиом) и так до бесконечности. Нет целостной картины, даже в арифметике, не говоря уже о математике (непаханное поле в дискретке и т.п.) и других науках. У нас мозгов не хватает, возможно пока, увидеть единый набор аксиом для всего и вся, о чем и говорит Гедель (косвенно).
Во-первых, вторая теорема Геделя о неполноте верна только для формальных логических систем первого порядка, частным случаем которой является арифметика Пеано. Переносить ее на другие системы и теории нельзя. Проводить интерпретации с нематематическими структурами и человеческим миром, как минимум, странно, а так-то, глупо.

Во-вторых, сделать из второй теоремы Геделя о неполноте вывод об ущербности человеческого мозга, это… скажу просто — не вижу логики в подобном выводе абсолютно.

В-третьих, кто вам сказал, что арифметика Пеано должна быть полной? Кому она это должна? Вам?

В-четвертых, каждую секунду каждая окружающая вас вещь, каждая пронзающая вас электромагнитная волна доказывает что у математики никакого кризиса нет.

Потому что математика — царица всех наук (с)
Давайте без математики, чтобы было проще понять — возьмем физику. Единая теория поля… где она? Одни догадки же. Одни теории, разные, как в математике — целостности нет. Хотя хочется верить, что есть :-)
Извините, я привык рассуждать о том, в чем разбираюсь. Поля без меня.

Кстати, а земля круглая?
Без обид :-) Еще один «косяк»: иррациональность фундаментальных констант — pi, e. Или уродливое доказательство Теоремы Ферма. Возможно, это говорит о неправильно выбранной нами точке отсчета — набора аксиом. Да, это личное мнение. Но давайте лучше о статье порассуждаем — мне удалось доходчиво донести мысль о выборе языка программирования, как считаете?
Еще один «косяк»: иррациональность фундаментальных констант — pi, e

Вам не нравится иррациональность pi, e?
Вы похожи на Пифагора. Ему тоже не нравилась иррациональность pi. Очень по этому поводу переживал. Но в современной математике иррациональность этих величин, вроде, никакого негатива человечеству не несет.

По поводу статьи не могу ничего сказать. Так как как разработчик привязан к своим языкам, знаю когда какой применять, и встать на вашу — заказчика — сторону, чтобы оттуда сверху окинуть всю проблему взглядом, просто не могу.
Иррациональность — это фундаментальное свойство числа, оно не зависит от точки отсчёта.
А это доказано, просто интересно, что не зависит от точки отчета? А трансцендентность?

Ну смотря что Вы называете точкой отсчёта. Иррациональность некоторых чисел — естественное положение дел.


Скажем, Вы решаете уравнение x^2 = a и привыкли, что у него два корня, когда справа — положительное число, являющееся точным квадратом (например, для a = 9, решения будут x1 = -3, x2= 3). Решая уравнение геометрически, используя теорему Пифагора, Вы обнаружите, что "решение" это длина гипотенузы прямоугольного треугольника со сторонами равными a (т.е., sqrt(a)). Если Вы возьмёте a = 2, и используете теорему Пифагора на прямоугольном треугольнике со стороной 1, вы быстры обнаружите, что гипотенуза должна быть "неопределённой в рациональных числах" длины sqrt(2). Предмет существования этого числа (при существовании единицы) после этого не должен быть вопросом, ведь Вы начертили отрезок гипотенузы, верно? Дальше Вы легко обнаружите, что sqrt(2) не может быть рациональным, ведь в рациональных числах x^2 = 2 не решается, о чём, как Вы ниже и написали, знали ещё древние греки. Скажите, где у меня в рассчётах точка отсчёта? Ведь длина стороны у нас переменная. Если же речь про аксиомы, то последние лишь указывают на то, что должно быть и так верно для Вашей модели (иначе и модель не применима, и мы говорим ни о чём)


Трансцендентные числа — pi и e туда входят. Это следующая ступень иррациональности — "не быть алгебраическим числом".
P.S. Вас, возможно, позабавит факт, что e^(i * pi) = -1, где i — мнимая единица, и эти числа покажутся Вам красивее, чем Вы раньше думали о них. (Я имею в виду Ваше "косяк")

ведь Вы начертили отрезок гипотенузы, верно

А где мы начертили, в каком базисе? Ортонормальном, двумерном. А в другом если. Например в машине опорных векторов в некоторых случаях переходят в искривленное многомерное пространство через kernel-trick (иногда бесконечномерное) — интересно там что будет. Не зря же и Лобачевский и Риман перетаскивали геометрию в миры, где сумма углов треугольника не равнялась 180 градусам. И, кстати, Риман то нашел как искать число простых чисел, поменяв точку отсчета — перешел к комплексным числам. Я просто не математик, могу ошибаться, ища аналогии, простите если что.
Вы путаете систему отсчёта для изучения свойств объекта и сами свойства объекта. Теорема Пифагора — про прямоугольный треугольник в Евклидовом пространстве, а не каком-то ещё. В пространстве без нужных свойств Вам придётся найти новые ассоциации между знакомыми натуральными числами и корнями уравнения (или поискать новое построение), но Вам и не обещал никто ничего для такого пространства (в этой дискуссии, уверяю, вся нужная математика уже построена и работает. И всегда работала). По сути Лобачевский не точку отсчёта поменял, а угол зрения и стал смотреть на другой объект. Многое в математике об обобщении (комплескные числа — не замена вещественным, а обобщение), можно назвать процесс обобщения индукцией. Другой класс действий — аналогия — направлен на то, чтобы искать «общие свойства» у разных видов объектов, или, наоборот, отличные свойства, как вот в Вашем же примере суммы углов треугольника в проективном пространстве. Лобачевский не «тащил геометрию в другие миры», он обобщил геометрию на другой класс объектов. Связь с обычной геометрией тоже найдена (но не стоит думать, что она появилась с открытием, связь всегда была и будет всегда). Я ни разу не встречал в математике такого, чтобы новое вычеркнуло старое, в отличии от физических или ещё каких-либо применений математических моделей. Математика этим и прекрасна, она вещь в себе и раз установив какой-то факт, он будет верным (да и был верным тоже :)) всегда. Оттого и проблем «кризиса математики» нет. В соседней физике, да, сколько угодно, эксперимент обогнал теорию и т.п. Математика — не про эксперимент.
А как же вычислительная математика? Алгоритмы машинного обучения работают, бизнес зарабатывает деньги, а теоретического объяснения — практически нет. Открыли, по сути, ящик Пандоры. Как инициализировать нейросети правильно — незнаем, как обучать на малом числе примеров — незнаем. Есть ощущение, что вычислительная математика стала сурово обгонять теоретическую, которая стала, я возможно неправ, заранее прошу прощения, бусковать и запутываться во все усложняющихся доказательствах, которые мало кто уже может проверить и содержащих, часто, ошибки. Может в вычислительной математике будущее, ибо наших мыслительных возможностей не хватает?
При условии вычисления того же, что и раньше, результат будет тот же. Вся математика — теоретическая, вычислительная математика — её раздел, занимающийся вычислительными методами. Вы же падение стакана со стола физикой не называете? Вот и вычисление само по себе отдельно не математика.
Большинство математических доказательств понимает большое количество людей, которые занимаются темой, так что не стоит так сильно переживать, на мой взгляд. Какие-то доказательства заменят на доказательства попроще, какое-то упрощение придёт как аналогия из другого раздела и т.п. Вообще, некоторые вещи просто трудно сразу проверить, вот хорошая аналогия: код написанный разработчиком тоже не сразу из тестирования выходит. :)

Мне кажется, Вы просто привыкли к линейному ходу истории и своей жизни, а прогресс пока описывается другой функцией, вот у Вас и диссонанс, что всё выйдет из-под контроля скоро.

P.S. Как мозг устроен мы тоже не знаем, люди на работу придут, а что там происходит внутри — уууу, опасные кожаные мешки, — вот где ящик Пандоры! :)
Это точно :-) Пока не покидает ощущение глобального строительства Вавилонской башни.
Мне кажется, скорее мы умрём от жары в куче мусора, чем от сумасшедших нейронных сетей.
Вот, кстати, органичная красота и стройность математики и заставляет меня думать о ее связи с нашим сознанием (мышлением), несмотря на критерий Поппера, который связывает математику с религией
Переносить ее на другие системы и теории нельзя. Проводить интерпретации с нематематическими структурами и человеческим миром, как минимум, странно, а так-то, глупо.


Кто сказал? :-) Математика — это физика работы нашего мозга, нашего сознания. Если в ней такие фундаментальные проблемы, значит и в мозге тоже.
Математика это не то, что Вы написали, Вы сами придумали это определение?
Вы вот в комменты отправляете людей на прямые вопросы, тут не ответили, так что я предложу Вам сходить за моим определением в соседний коммент ниже. :) Можно и просто сходить в Википедию, и убедиться словосочетание «физика мозга» там не встретить, меня то определение тоже больше Вашего радует. Вы сами придумали своё определение?
Да, встречал определение, что мышление основано, ВОЗМОЖНО, на физическом носителе. А т.к. математика выражает наше сознание, являясь абстрактной умозрительной наукой, модели которой на удивление хорошо работают в реальном мире, то ВОЗМОЖНО секрет этого — в физическом носителе нашего сознания.
Я привык к определениям без слова «возможно» :) Но слово полезное, много вопросов снимает, спасибо :)
А как же тервер, ЦПТ, хи-квадрат распределение? Там все возможно же :-) Вот кстати, в том же тервере, геометрическое определение вероятности… тоже аксиома, не доказывается, почему-то. Скакнули из дискретного мира лихо.
Ну зачем выдумывать несуществующие «аксиомы-определения»!:) То, что Вам кто-то не дал определения/вывода из аксиом и прочего не означает, что это не было сделано кем-то в научном труде. Откройте любой учебник, где есть понятие «непрерывная функция распределения» и изучите вопрос (если хотите, конечно). Если Вы также найдёте понятие меры, то сможете узнать, что вероятность — это функция (ну, почти, корректнее — мера), нежели число. Теория вероятности это весьма строгая наука, с крепкой основой из математического анализа. Случайность обычно есть только в задачах, в этих задачах Вы всегда делаете допущение, что Ваша модель вероятности (ваша функция) имеет смысл, а дальше идёт строгая математика с этой вероятностью (в грубом приближении, — функцией от событий). Т.е. какое именно событие произойдёт сказать нельзя, оно случайно. Но какова вероятность каждого возможного события — полностью детерминированная/вычислимая вещь, её Вы и определяете в начале и по ходу решения задачи. Например, когда решают задачу про вероятность выпадения чётного числа на кубике с 6 гранями, обычно подразумевается (если не сказано иное), что все числа равновероятны, т.е. вероятности всех элементарных событий даны прямо в задаче (1/6), остаётся посчитать вероятность составного события. А если в задаче такой кубик, а в жизни — кубик с одной тяжёлой гранью — Ваша модель с равномерным распределением останется верной, просто к такой ситуации будет неприменима. Т.е. вероятностные модели точны, неточны применения к реальности и результаты реальных экспериментов.

В статистике Вы наоборот, ищете вероятность (функцию распределения, нахождение одной будет эквивалентно нахождению другой) и находите её свойства с некоторыми доверительным интервалом (перефразируя: с некоторой вероятностью, Вы нашли не то, что искали). Но и там есть всегда начальные допущения, Вы не для любых данных можете проворачивать любые методы мат. статистики.

В общем, я к тому это всё, что, мне кажется, не стоит разбрасываться такими «ничего не доказано, тут может быть что угодно, вероятность же». В этой области математики слово «возможно» имеет более строгий смысл, чем в повседневности.
Спасибо, очень емко познавательно. Хотя я терверу достаточно много времени отдал — он очень помогает в прикладных задачах по разработке. Да и статистика очень полезная часто вещь. Можете, если не затруднит, прокомментировать современную теорию категорий?
Нет, извините, в теории категорий я, к сожалению, профан :) Не добрался.
Спасибо Вам большое за очень познавательные комментарии вчера, поставил себе в планчик почитать!
Ну вообще, опять же не с потолка, просто это определение для большего числа ситуаций, чем Вам обычно могло быть нужно на практике (я лишь предполагаю). Давайте рассмотрим на кубике:
Omega — множество элементарных событий, их 6, i-ое будет значит, что выпало число i (i из {1, 2, 3, 4, 5, 6}). назовём их w_i. F — множество неэлементарных событий, это подмножество множества всех подмножеств Omega, часто оно выбирается как просто множество всех подмножеств. Таким и для кубика выберем, в нём будет 2^6 элементов: одно {} (пустое), 6 одноэлементных {w_i} множеств, 15 двухэлементных {w_i, w_j} где i <> j, 20 трёхэлементых, 15 4-ёхэлементных, 6 пятиэлментных, и последнее — единственное — 6-ти элементное, равное всему Omega. А P — это мера, по сути функция, которая F сопоставляет число от 0 до 1. Когда Вы хотите узнать вероятность множества A из F, Вы просто складываете отдельные вероятности элементарных событий (элементов A) из A. Аксиомы в данном случае просто требуют, что бы P({w_i, w_j}) = P({w_i}) + P({w_j}) (i <> j) (вообще, сколько не будь элементов, это должна быть сумма всех вероятностей элементарных событий),
например,
P(«выпало чётное») = P(«выпало 2, 4 или 6») = P(«выпало 2») + P(«выпало 4») + P(«выпало 6»),
согласитесь, это разумное требование.

Для правильного кубика с равновероятным выпадением сторон, это нетрудно проверить.

Также есть два правила P(Omega) = 1, что значит, что какое-то событие да произойдёт и P({}(пустое)) = 0, что тоже логично, ведь, интуитивно, вероятность, что не выпало ничего после броска — нулевая. ;)
Спасибо за интуитивное объяснение. Я вчера глянул теорию мер, там, конечно, нужно покопаться порядочно :-) Я себе проще объясняю, как в 19 веке — через отношение элементарных исходов благоприятствующих к общим. Немного комбинаторики и 500 задачек из учебника Вентцель и очень помогло в свое время.
С таким пониманием Вы сможете работать только со счётными множествами (дискретное время и т.п.) Для оценки «вероятность попадания в интервал» элементарные исходы слишком «континуальны». Мера помогает убрать различия между дискретным и непрерывным случаями, и иметь единую нотацию для кажущихся не совсем одним и тем же суммирований/интегралов. После изучения теории меры, становится ясно, что принципиальная разница только в том, какой мерой пользоваться — просто для сумм используется дискретная мера под интегралом.
А можно еще интегрироовать площади и через их отношение (вещественные числа) определять «P». Как например в задаче о броске иголки на стол.
  • Математика — это язык, на котором написана книга природы. (Г. Галилей)
  • Математика – царица наук, арифметика – царица математики. (К.Ф. Гаусс)
  • Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. (А.Н. Крылов)

Дальше
  • Было бы хорошо, если бы эти знания требовало само госу­дарство и если бы лиц, занимающих высшие государственные должности, приучали заниматься математикой и в нужных случаях к ней обращаться. (Платон)
  • Математика есть лучшее и даже единственное введение в изучение природы. (Д.И. Писарев)
  • Астрономия (как наука) стала существовать с тех пор, как она соединилась с математикой. (А.И. Герцен)
  • Полет – это математика. (В. Чкалов)
  • В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. (Н.Е. Жуковский)
  • Химия – правая рука физики, математика – ее глаз. (М.В. Ломоносов)
  • Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива. (Р. Петер)
  • Все, что до этого было в науках: гидравлика, аэрометрия, оп­тика и других темно, сомнительно и недостоверно, математика сделала ясным, верным и очевидным. (М.В. Ломоносов)
  • Стремящийся к ближайшему изучению химии должен быть сведущ и в математике. (М.В. Ломоносов)
  • Математик, который не является в известной мере поэтом, никогда не будет настоящим математиком. (К. Вейерштрасс)
  • Математика — это язык, на котором говорят все точные науки. (Н.И. Лобачевский)
  • Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств. (Л. Эйлер)
  • Цифры (числа) не управляют миром, но они показывают, как управляется мир. (И. Гете)
  • Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики". (Ж. Фурье)
  • … Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение. (В.Ф. Каган)

Да, к «физике мозга» ближайшее будет:
Математику уж затем учить надо, что она ум в порядок приводит. (М.В. Ломоносов)
А теперь вопрос — кто Писатель то? :-)
Распечатал, положил рядом. Буду перечитывать. Очень красиво. Спасибо!
Кризис в математике с этого и начался в начале прошлого века, что полезли в множества, встретили бесконечность и запутались все к черту :-)
Бесконечность в множествах встретили гораздо раньше, ещё Евклид писал о бесконечности множества простых чисел.
Да, веселое было время. Верили в целые и рациональные числа и иррациональность тогда же примерно и доказали, возможно случайно.
А какое тогда время было в науке невесёлое?

Вы вот говорите о кризисе в математике, хотя никакого кризиса в общем-то нет, наука бурно развивается и множество гипотез находят опровержение или доказательства.

Например, тот факт, что существует утверждение, которое нельзя ни доказать ни опровергнуть ещё не означает, что кому-то может потребоваться подобную вещь объяснять. Представьте, что кто-то сказал грамматически верное предложение, но с незнакомыми словами, нужно ли определять его истинность, имеет ли это смысл? Есть и другие примеры «необъясненных» вещей, такие как существование множества, находящегося по мощности между счётными натуральными и вещественным континуумом. Тем не менее, это не стоит называть «проблемами аксиоматики», потому что на проблему (в смысле «противоречия», а не задачи) не указывает. Да и всегда найдётся что-то новое, построенное на старом.

Выше Вы просили дать своё определение математики,
моё кустарное определение: математика это наука о взаимоотношениях идеальных объектов, заданных аксиомами. Всегда на основе этих объектов можно построить другие объекты, индукцией или аналогией, для них можно найти альтернативную аксиоматику, дающую объекты изоморфные построенным. Всегда найдётся что-то неизученное/вновь открытое. Так что единого набора аксиом всего и вся Вы и не встретите никогда. Да и не нужно (хотя за Вас не отвечаю).

P.S. В рациональные и целые числа не надо верить, существует строгое построение, основанное на аксиоматике Пеано и факторизации множества пар целых чисел по отношению эквивалентности, связанному с основным свойством дроби.
Спасибо, очень интересно. Я пытаюсь, возможно не совсем четко, показать аналогию блужданий и поиска базы аксиом в области программирования, как очень молодой дисциплины. Математику же очень люблю и глубоко уважаю.
Не всё требует/позволяет математической обёртки :)
Если глубоко не погружаться в математику и все, что с ней было связано — статья зашла с точки зрения работы клиент/исполнитель (автор, ты набил немало шишек, судя по всему), на днях зачитаю коллегам — посмеемся… сквозь слезы...)) По существу: ждём в новой статье дополненный список ситуаций и рецептов (как у реаниматологов) уже из чего-то ещё опыта ;) Должно быть полезно сообществу разработчиков. Может и от себя в личку добавлю, если есть необходимость. За статью спасибо
Как чисто прикладной инженер-разработчик, не математик ни разу, в масле и опилках с ключом в руках, я просто попытался найти в великой науке помощь и объяснение показанным в посте жутким примерам из жизни, да :-)
Domain Driven Design. Частично в статье DDD описывается, но только частично. Конечно серебряной пули не существует, но вы судя по всему выработали свою методологию с оглядкой на существующие.
Sign up to leave a comment.